Kesamaan Polinom

Dua polinom dikatakan sama jika memiliki derajat yang sama dan suku-suku yang bersesuaian juga sama. Kesamaan polinom bisa juga dijelaskan sebagai berikut.

Misal f(x) dan g(x) adalah dua polinom berderajat n yang secara umum dinyatakan sebagai berikut.

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₀
g(x)=p_nxⁿ+p_n-1x^n-1+...+p₀

Jika f(x) = g(x) maka berlaku

a_n=p_n, a_n-1=p_n-1, ..., a₀=p₀

Dalam menyelesaikan soal kesamaan polinom yang harus dilakukan adalah menyamakan bentuk polinom yang sudah diketahui seluruh koefisiennya dengan polinom yang belum diketahui koefisiennya. Kemudian menurut penjelasan sebelumnya, samakan koefisien suku-suku yang bersesuaian. Setelah itu, selesaikan bentuk persamaan/sistem persamaan yang didapat dari hasil menyamakan koefisien suku-suku yang bersesuaian.

Penyelesaiannya mungkin saja bisa didapatkan secara langsung atau harus menggunakan eliminasi-substitusi. Untuk lebih memahaminya, mari kita ulas beberapa soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Tentukan nilai a, b, dan c dari kesamaan polinom berikut.
ax²+bx+c=2x²-3x+7

Kedua polinom pada kesamaan di atas sama-sama berderajat 2. Perhatikan bahwa bentuk polinom pada ruas kanan dan ruas kiri sudah sama. Keadaan ini memudahkan menyelesaikan kesamaan polinom. Kita tinggal menyamakan koefisien suku-suku yang sejenis.

Koefisien x² di kiri adalah a dan di kanan adalah 2, berarti a = 2. Koefisien x di kiri adalah b dan di kanan -3, berarti b = -3. Konstanta di kiri c dan di kanan 7, berarti c = 7.

Tentukan bilangan bulat a, b, dan c dari kesamaan polinom berikut.
(ax+b)(x+c)=2x²+7x+5

Pada soal ini derajat polinom pada kedua ruas sama-sama 2. Tapi polinom pada ruas kiri berbeda dengan polinom pada ruas kanan. Untuk mendapatkan nilai a, b, dan c terlebih dahulu bentuk polinom pada ruas kanan dan ruas kiri kita buat sama. Ruas kanan bentuknya sudah sederhana. Giliran ruas kiri kita uraikan agar bentuknya sama dengan ruas kanan.

(ax+b)(x+c)=2x²+7x+5
ax²+acx+bx+bc=2x²+7x+5
ax²+(ac+b)x+bc=2x²+7x+5

Dari bentuk kesamaan terakhir, diperoleh a = 2, ac + b = 7, dan bc = 5.

Substitusi a = 2 ke bentuk ac + b = 7
sehingga diperoleh 2c + b = 7 atau b = 7 - 2c.

Substitusi b = 7 - 2c ke bc = 5, sehingga diperoleh (7 - 2c)c=5.

(7 - 2c)c=5
7c-2c²=5
2c²-7c+5=0
(2c-5)(c-1)=0
c=5/2 atau c=1
karena a, b, dan c\ bilangan\ bulat, berarti\ c=1.

Dari bentuk bc = 5, diperoleh b = 5.
Jadi jawabannya a = 2, b = 5, dan c = 1.

Tentukan nilai a dan b dari kesamaan berikut.
.

Bentuk pada kedua ruas di soal terlihat berbeda. Ruas kiri berupa pecahan biasa dengan pembilang dan penyebut berupa polinom, sedangkan ruas kanan berupa penjumlahan pecahan.

Jadikan terlebih dahulu ruas kanan menjadi bentuk pecahan biasa. Ingat, untuk membuat penjumlahan pecahan menjadi bentuk yang lebih sederhana (pecahan biasa), terlebih dahulu kita buat sama penyebutnya. Membuat sama penyebut paling mudah dengan mengalikan kedua penyebutnya. Ternyata hasil kali kedua penyebut pada ruas kanan sama dengan penyebut pada ruas kiri. Karena itu, kita tinggal menyamakan pembilangnya saja.

Dari bentuk di atas, diperoleh sistem persamaan
a + b = 2 dan -2a + 2b = -3.
Dari sistem persamaan tersebut diperoleh a = 7/4 dan b = 1/4.