Nilai Polinom

Nilai polinom ditentukan salah satunya dengan cara substitusi peubahnya oleh sebuah bilangan. Metode substitusi ini sudah dikenalkan sejak SMP. Berikut contoh sederhananya.

nilai polinom f(x) = x² - 5x + 6 untuk x = 1 adalah f(1)
yang berarti peubah x pada f(x) diganti oleh 1,
yaitu f(1) = (1)² - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2.

Selain dengan cara substitusi, ternyata ada lagi cara lain yang bisa digunakan untuk mendapatkan nilai polinom. Silakan simak pembahasan berikutnya.

Saya ingin membahas sedikit tentang istilah substitusi walaupun agak keluar dari masalah nilai polinom. Orang-orang seringkali mengganti kata substitusi dengan "memasukan". Contoh, "untuk mendapatkan nilai f(4) dari f(x) = 2x + 3 adalah dengan memasukan 4 ke x pada 2x + 3". Ini sudah lumrah diketahui oleh banyak siswa, bahkan beberapa guru menggunakannya.

Dari asal katanya, substitusi (substitusion) berarti penggantian. Tidak ada hubungan sama sekali kata "penggantian" dengan kata "memasukan". Mulai sekarang, mari kita sadar bermatematika dan menggunakan beberapa istilahnya dengan tepat. Agar pemahaman terhadap matematika menjadi lebih baik. Arti istilah substitusi yang tepat adalah "mengganti" bukan "memasukan".

Kalimat sebelumnya akan terasa lebih masuk akal kalau kata "memasukan" diganti dengan kata "mengganti" dan kalimatnya disesuaikan. Jadinya, "untuk mendapatkan nilai f(4) dari f(x) = 2x + 3 adalah dengan mengganti x pada 2x + 3 dengan 4".

Kembali ke konsep nilai polinom. Untuk mendapatkan nilai polinom, terdapat dua cara. Pertama dengan cara substitusi. Kedua dengan cara skema atau cara horner. Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, cara substitusi adalah mengganti peubah dengan nilai yang diberikan. Berikut ini contoh penggunaan substitusi untuk mencari nilai polinom.

Nilai polinom f(x)=x³+2x²+3x-4 untuk x=5 adalah sebagai berikut.

f(5)=5³+2(5)²+3(5)-4=125+50+15-4=186

Perhitungan dengan cara tersebut memakan waktu yang cukup lama, apalagi kalau pangkat peubahnya besar dan akan lebih sulit lagi bila nilai x yang disubstitusi juga besar.

Untungnya ada solusi lain untuk mencari nilai polinom tanpa memperdulikan pangkat peubahnya. Kita hanya fokus pada koefisien polinomnya saja. Cara tersebut dikenal dengan cara skema, cara sintetis, atau cara horner. Entah kenapa diberi nama horner. Mungkin dulu yang pertama kali memperkenalkannya bernama Horner. Atau mungkin suatu penghormatan kepada Bapak Horner karena beliau telah berjasa dalam bidang matematika.

Ada beberapa rambu yang perlu diperhatikan untuk menggunakan cara horner. Kita perlu memahami bagaimana cara menuliskan seluruh koefisien dari polinom secara berurutan dari koefisien pangkat tertinggi hingga konstanta. Ini cukup mudah bila polinom yang diberikan lengkap tanpa cacat. Artinya, polinom disusun dari pangkat peubah tertinggi hingga konstanta secara berurutan tanpa ada pangkat yang terlewat. Beda halnya jika terdapat peubah dengan pangkat tertentu tidak dituliskan pada polinom. Koefisien dari peubah yang demikian adalah nol. Dan ini tidak boleh diabaikan, tetap dituliskan di urutan penulisan koefisien.

Contohnya sebagai berikut.

• Koefisien polinom x³+2x²+3x-4 secara berurutan dari koefisien pangkat tertinggi sampai pangkat terendah adalah
  1, 2, 3, -4
• Koefisien polinom 5x³-3x+7 secara berurutan dari koefisien pangkat tertinggi sampai pangkat terendah adalah
  5, 0, -3, 7

Pada polinom pertama, pangkat tertingginya 3 dan secara berurutan pangkat peubahnya menurun tanpa terlewat sampai konstanta sehingga dapat dengan mudah dituliskan seluruh koefisiennya secara berurutan. Sedangkan pada polinom kedua, peubah pangkat 2 tidak dituliskan. Ini berarti koefisien x² pada polinom kedua adalah 0 dan koefisien ini ada pada urutan kedua.

Cara horner memiliki metode tersendiri dan perlu dipahami polanya. Bentuk dan penggunaan cara horner secara umum adalah sebagai berikut.

Cara horner di atas adalah untuk mencari polinom dengan koefisien a, b, c, d dengan nilai x = k. Perhatikan baik-baik langkah-langkahnya. Nilai polinom ada pada bentuk terakhir di sebelah kanan-bawah. Agar lebih jelas bagaimana penggunaan cara horner untuk mencari nilai polinom, perhatikan contoh di bawah ini.