Menentukan Invers Fungsi Secara Umum

Istilah invers dalam matematika mempunyai arti kebalikan atau lawan. Contohnya invers dari 2 pada operasi perkalian adalah 1/2 sedangkan invers pada operasi penjumlahan adalah -2. Invers ini tidak terlepas dari identitas.

Identitas adalah bilangan yang bila dioperasikan dengan A akan menghasilkan A. Pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1. Sedangkan pada penjumlahan, identitasnya adalah 0.

Suatu bilangan jika dioperasikan dengan inversnya akan menghasilkan identitas. Pada contoh di atas disebutkan bahwa invers dari 2 pada operasi perkalian adalah 1/2, sehingga bila 2 dikalikan dengan inversnya yaitu 1/2 akan menghasilkan 1 (identitas perkalian). Begitu pula dengan invers dari bilangan 2 pada operasi penjumlahan yaitu -2, bila dijumlahkan menghasilkan 0 (identitas penjumlahan).

Nah, pada halaman ini akan dibahas bagaimana menentukan invers dari sebuah fungsi atau sebaliknya menyatakan sebuah fungsi jika inversnya diketahui.

Sebelum sampai kepada pokok bahasan, terlebih dahulu kita kenali seluk-beluk fungsi yang memiliki invers. Fungsi f(x) akan memiliki invers dengan syarat f(x) merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi f memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi f atau ditulis f^-1 memetakan himpunan B ke himpunan A. Dalam kalimat matematika dapat dinyatakan sebagai berikut.

f: A → B ⇔ f^-1: B → A

Telah disinggung sebelumnya, bahwa apabila suatu bilangan dioperasikan dengan inversnya akan menghasilkan identitas. Pada fungsi juga berlaku demikian. Sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan inversnya akan menghasilkan fungsi identitas, yaitu f(x) = x.

(f ο f^-1)(x)=(f^-1 ο f)(x)=x

Contohnya adalah f(x) = x - 2 memiliki invers g(x) = x + 2. Jika keduanya dikomposisikan akan menghasilkan fungsi identitas.

(f ο g)(x) = (x + 2) - 2 = x.

Sekarang kita bahas bagaimana menentukan invers dari sebuah fungsi secara umum. Pada tulisan di muka telah dibahas bahwa jika f memetakan A ke B maka invers fungsi f atau ditulis f^-1 memetakan B ke A. Modal ini yang akan kita pakai untuk menentukan invers suatu fungsi. Kalimat tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut.

f(x)=y ⇔ x=f^-1(y)

Bentuk di atas menunjukkan bagaimana langkah awal untuk menentukan invers sebuah fungsi. Berikut ini tahapan selengkapnya.

• Misalkan fungsi f sebagai peubah y, ditulis y = f(x).
• Terapkan konsep aljabar agar fungsi di atas menjadi dalam peubah x. Fungsi dalam peubah x ini dapat dituliskan sebagai f^-1, ditulis x=f^-1(y).

Fungsi f^-1 merupakan fungsi invers dari fungsi f. Peubah dari fungsi tersebut bisa diubah-ubah disesuaikan dengan kebutuhan. Perhatikan beberapa contoh menentukan invers fungsi berikut ini.

Tentukan invers dari fungsi f(x) = 2x - 3.

Ingat bahwa untuk menentukan invers dari fungsi f, kita misalkan terlebih dahulu fungsi f sebagai y.
misal y = f(x) = 2x - 3
Kita jadikan fungsi di atas menjadi dalam peubah x.

Fungsi dalam peubah x di atas merupakan invers fungsi f dalam peubah y atau dapat ditulis sebagai berikut.

Peubah y pada fungsi invers di atas bisa diubah menjadi peubah apa saja sesuai kebutuhan.

Jadi, invers dari fungsi f(x) = 2x - 3 adalah sebagai berikut

Tentukan invers dari f(x)=x³+5.

Misal y=x³+5
⇔ x³=y-5


Jadi invers dari fungsi f(x)=x³+5 adalah sebagai berikut

Tentukan invers dari

Misal
⇔ y²=10x-x²
⇔ x²-10x=-y²
⇔ x²-10x+25=-y²+25 (melengkapkan kuadrat sempurna)
⇔ (x-5)²=-y²+25
(ambil yang positifnya saja)


Jadi fungsi inversnya adalah sebagai berikut.

Sekian pembahasan mengenai fungsi invers. Pahami prinsip utama dari konsep ini agar mudah dalam menyelesaikan soal-soalnya.