Fungsi Komposisi dan Jenis Masalahnya

Sebuah fungsi bisa diibaratkan sebagai sebuah mesin. Kalau mesin mengubah bahan mentah menjadi bahan jadi, sedangkan fungsi bisa mengubah suatu himpunan yang satu menjadi himpunan yang lain. Untuk mengubah suatu bahan mentah menjadi bahan jadi mungkin dibutuhkan sebuah mesin atau lebih. Begitu pun dengan fungsi. Suatu himpunan bisa dipetakan oleh sebuah fungsi atau lebih.

Misal kita akan mengubah kentang menjadi snack yang menarik. Tentunya minimal kita memerlukan mesin pengupas kentang, mesin penggoreng kentang, dan mesin pengemasnya. Untuk memproduksi snack berbahan dasar kentang tersebut, urutan pengerjaannya tidak bisa ditukar. Nah, fungsi komposisi bisa diibaratkan dengan mesin yang banyak tersebut. OK, kita mulai pembahasan tentang fungsi komposisi berikut ini.

Misal saya mempunyai himpunan A, himpunan B, dan himpunan C. Saya juga mempunyai dua buah fungsi yaitu g yang memetakan himpunan A ke himpunan B dan fungsi f yang memetakan himpunan B ke himpunan C. Bila digambarkan dalam diagram panah akan menjadi seperti berikut.

Fungsi yang memetakan himpunan A langsung ke himpunan C dinamakan dengan fungsi komposisi f terhadap g yang ditulis sebagai fοg. Fungsi komposisi didefinisikan sebagai berikut.
(fοg)(x)=f(g(x))
dengan syarat daerah hasil dari fungsi g beririsan dengan domain dari fungsi f atau dapat dinyatakan dengan simbol berikut.
R_g∩D_f≠∅

Ada tiga masalah utama dalam pembahasan fungsi komposisi ini, yaitu sebagai berikut.

• Diketahui fungsi f dan fungsi g, ditanyakan fungsi komposisinya.
• Diketahui fungsi f dan fungsi komposisi fοg, ditanyakan fungsi g.
  Pada kasus ini diketahui fungsi depan dari komposisi, ditanyakan fungsi fungsi bagian belakang.
• Diketahui fungsi g dan fungsi komposisi fοg, ditanyakan fungsi f.
  Pada kasus ini diketahui fungsi belakang dari komposisi, ditanyakan fungsi bagian depan.

Kunci utama untuk menyelesaikan masalah pada fungsi komposisi adalah dengan menggunakan definisi fungsi komposisi.

Diketahui fungsi f dan fungsi g, ditanyakan fungsi komposisi keduanya.
Pada kasus ini, fungsi f dan fungsi g diketahui. Yang menjadi pertanyaan mungkin komposisi f terhadap g atau sebaliknya. Ingat ya, operasi komposisi fungsi ini tidak berlaku komutatif. Jadi, perhatikan permasalahannya supaya tidak tertukar.

fοg≠gοf

Contoh soal:
Diketahui fungsi f(x) = 2x - 3 dan fungsi g(x)=x²-4x-5. Tentukan fungsi komposisi berikut ini.
a. (fοg)(x)
b. (gοf)(x)
c. (fοg)(2)
d. (gοf)(-3)

Jawaban a
(fοg)(x)=f(g(x))
=f(x²-4x-5)
=2(x²-4x-5)-3
=2x²-8x-10-3
=2x²-8x-13

Jawaban b
(gοf)(x)=g(f(x))
=g(2x-3)
=(2x-3)²-4(2x-3)-5
=4x²-12x+9-8x+12-5
=4x²-20x+16

Jawaban c
Untuk jawaban c bisa didapatkan dengan substitusi langsung ke jawaban a. Bila soal diberikan secara langsung tanpa bertahap seperti contoh soal ini, kita bisa menyelesaikan secara lebih mudah sebagai berikut.
(fοg)(2)=f(g(2))
=f((2)²-4(2)-5)
=f(-9)
=2(-9)-3
=-21

Jawaban d
Sama dengan penjelasan jawaban c. Soal ini bisa diselesaikan dengan cara langsung tanpa perlu mencari fungsi komposisinya terlebih dahulu.
(gοf)(-3)=g(f(-3))
=g(2(-3)-3)
=g(-9)
=(-9)²-4(-9)-5
=112

Definisi fungsi komposisi ibarat bumbu utama suatu menu masakan yang masih harus diracik sehingga dapat dijadikan sajian jawaban soal yang sistematis dan benar. Karena rumusnya sederhana kita masih memerlukan kreativitas dalam menggunakan rumus ini untuk menyelesaikan soal.

Pada pembahasan di atas, telah dibahas poin pertama yaitu masalah fungsi komposisi jika diketahui kedua fungsi dan ditanyakan komposisinya. Nah, sekarang akan dibahas dua poin terakhir, yaitu masalah fungsi komposisi yang diketahui fungsi kompoisisi dan salah satu fungsinya, sedangkan fungsi yang satunya lagi ditanyakan. Misalnya diketahui fungsi f dan fungsi fοg, ditanyakan fungsi g, atau yang diketahuinya fungsi g ditanyakan fungsi f. Bagaimana menyelesaikannya? Simak pembahasan berikut ini.

Diketahui fungsi f dan fungsi komposisi fοg, ditanyakan fungsi g
Misal saya punya soal sebagai berikut.

Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (fοg)(x)=4x²+2x-15, tentukan fungsi g(x).

Soal tipe ini termasuk soal mudah, karena masalahnya tidak terlalu rumit. Untuk menyelesaikannya selalu ingat untuk menggunakan definisi fungsi komposisi.

(fοg)(x)=f(g(x))

Berikut pembahasan jawaban dari soal di atas.
(fοg)(x)=4x²+2x-15
⇔f(g(x))=4x²+2x-15
⇔2g(x)+1=4x²+2x-15
⇔2g(x)=4x²+2x-16
⇔g(x)=2x²+x-8

Diketahui fungsi g dan fungsi komposisi fοg, ditanyakan fungsi f
Perbedaan jenis soal yang ini dengan soal yang sebelumnya adalah terletak pada posisi fungsi yang diketahui dan yang ditanyakan. Soal di atas relatif lebih mudah diselesaikan dibanding dengan tipe soal ini. Tapi selalu ingat, apapun soal fungsi komposisinya, gunakan definisi fungsi komposisi untuk menyelesaikannya. Simak contoh soal berikut.

Diketahui g(x) = 3x - 5 dan (fοg)(x)=9x²-3x+4, tentukan f(x).

Berikut jawabannya
(fοg)(x)=9x²-3x+4
⇔f(g(x))=9x²-3x+4
⇔f(3x-5)=9x²-3x+4

Sampai di sini, kita menemukan masalah. Penyelesaian berikutnya bisa dengan atau tanpa menggunakan konsep fungsi invers. Kita lakukan pemisalan fungsi yang dipetakan oleh f, yaitu fungsi di dalam kurung setelah f (pada kasus ini, fungsi yang dipetakan oleh f adalah g(x)=3x-5) dengan suatu peubah.
Misal 3x-5=A sehingga f(3x-5) bisa dinyatakan sebagai f(A).
Selanjutnya, ubah pemisalan tersebut menjadi fungsi peubah x dalam bentuk peubah A.
3x-5=A
⇔3x=A+5

Substitusi bentuk di atas ke fungsi komposisi (fοg)(x)=9x²-3x+4, sehingga diperoleh bentuk berikut.

Selesaikan bentuk terakhir

Karena kita memerlukan fungsi f dalam peubah x, ganti peubah A menjadi peubah x sehingga diperoleh jawaban akhir sebagai berikut.
f(x)=x²+9x+24

Soal 1
Diketahui F(x) = x²+3x+2 dan G(x) = 2x-1
Jawaban:
(FoG)(x) = F(G(X))
=F(2x-1)
=(2x-1)²+3(2x-1)+2
=4x²-4x+1+6x-3+2
=4x²+2x

Soal 2
Tentukan (fοgοh)(x) dan (gοhοf)(x) jika f(x)=√x; h(x)=ln(2x+1); dan g(x)=x-4

(fοgοh)(x)=f(g(h(x)))
=f(g(ln(2x+1)))
=f(ln(2x+1)-4)
=√ln(2x+1)-4

(gοhοf)(x)=g(h(f(x)))
=g(h(√x))
=g(ln(2√x+1))
=ln(2√x+1)-4