Sistem Persamaan Linear

Dilihat dari judulnya, sistem persamaan linear berarti sistem persamaan tersebut terdiri dari dua atau lebih persamaan linear. Persamaan linear atau disebut juga sebagai persamaan garis adalah persamaan yang memuat peubah dengan pangkat tertinggi 1. Suatu persamaan linear minimal memuat satu peubah. Persamaan linear dengan satu peubah bisa diselesaikan secara langsung dengan menggunakan konsep aljabar. Sedangkan untuk persamaan linear dua peubah atau lebih, untuk mendapatkan penyelesaiannya memerlukan minimal persamaan sebanyak peubah pada masing-masing persamaan.

Dua persamaan linear atau lebih yang memiliki penyelesaian yang sama disebut sebagai sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear bisa diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, substitusi (saja), eliminasi (saja), campuran substitusi-eliminasi, dan dengan menggunakan matriks.

Perhatikan contoh sistem persamaan linear dua peubah berikut ini.

3x - y = 2 ... (1)
x + y = 6 ... (2)

Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, sistem persamaan linear bisa diselesaikan dengan berbagai metode. Berikut ini adalah penyelesaian sistem persamaan linear pada contoh di atas dengan menggunakan beberapa metode.

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik adalah dengan menggambar grafik kedua persamaan pada satu koordinat kartesius dan penyelesaiannya merupakan titik potong kedua grafik.

Agar diperoleh penyelesaian yang akurat, perlu diperhatikan ketika menggambar koordinat kartesiusnya. Pastikan satuan pada kedua sumbu sama dan konsisten. Perhatikan gambar grafik persamaan linear di atas berikut ini.

Perhatikan bahwa kedua garis tersebut berpotongan di satu titik, yaitu titik (2,4). Titik ini merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas. Dengan demikian, kita peroleh penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah x = 2 dan y = 4.

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi (saja)
Kenapa menggunakan kata "saja"? Karena hanya metode substitusi yang digunakan untuk menyelelesaikan sistem persamaan ini. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi adalah dengan mengganti salah satu peubah pada suatu persamaan dengan peubah yang diperoleh dari persamaan lainnya.

Misalkan kita ubah peubah y pada persamaan (1) dengan peubah y yang diperoleh dari persamaan (2). Berikut ini adalah prosesnya.

x + y = 6; y = 6 - x
3x - y = 2; 3x - (6 - x) = 2; 3x - 6 + x = 2
4x - 6 = 2; 4x = 8; x = 2

Untuk memperoleh nilai peubah y, kita substitusi kembali nilai x yang telah diperoleh untuk persamaan (2)
y = 6 - x; y = 6 - 2 = 4

Penyelesaian ini sama dengan penyelesaian yang diperoleh dengan metode grafik.

Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi (saja)
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu peubah dengan operasi penjumlahan atau pengurangan dengan terlebih dahulu membuat sama koefisien peubah yang mau dihilangkan tanpa memperhatikan tanda positif atau negatif. Jika peubah yang mau dihilangkan bertanda sama, eliminasi dilakukan dengan menggunakan operasi pengurangan. Sebaliknya, jika peubah yang mau dihilangkan memiliki tanda yang berbeda, eliminasi dilakukan dengan menggunakan operasi penjumlahan.

Perhatikan bahwa pada sistem persamaan linear di atas, peubah y sama-sama memiliki koefisien 1 namun dengan tanda yang berbeda. Berarti kita bisa langsung mengeleminasi peubah y tersebut dengan cara menjumlahkan kedua persamaan sebagai berikut.

Untuk mengeliminasi peubah x, perlu terlebih dahulu menyamakan koefisien peubah x pada kedua persamaan. Caranya adalah dengan mencari KPK dari kedua koefisien x dan jadikan koefisien peubah kedua persamaan tersebut sama dengan KPK-nya.

Pada contoh di atas, koefisien x pada persamaan (1) adalah 3 dan koefisien x pada persamaan (2) adalah 1. KPK dari 3 dan 1 adalah 3. Berarti koefisien x pada kedua persamaan harus menjadi 3. Agar koefisien x pada kedua persamaan tersebut menjadi sama, yaitu 3, kalikan persamaan (2) dengan 3 sehingga persamaan (2) menjadi 3x + 3y = 18. Karena tanda koefisien x pada kedua persamaan sama-sama positif maka untuk mengeliminasi koefisien x adalah dengan operasi pengurangan sebagai berikut.

Lagi-lagi hasilnya sama dengan kedua metode sebelumnya, yaitu x = 2 dan y = 4.

Untuk metode campuran eliminasi - substitusi caranya adalah dengan mencari salah satu peubah terlebih dahulu dengan salah satu metode, misalnya eliminasi. Setelah diperoleh nilai salah satu peubah, lakukan metode substitusi nilai peubah yang telah diketahui tersebut ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai peubah lainnya.

Untuk penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode matriks (aturan cramer) bisa dibaca di halaman berikut ini.
Determinan Matriks

Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah (SPLTP)
Sistem persamaan linear tiga peubah atau sering disingkat sebagai SPLTP adalah sistem persamaan linear yang dibangun oleh tiga persamaan linear yang masing-masing memiliki maksimal 3 peubah.

Permasalahan SPLTP bisa diselesaikan dengan menggunakan metode campuran eliminasi - substitusi atau dengan menggunakan matriks (aturan cramer).

Cukup sulit untuk menyelesaikan SPLTP dengan menggunakan grafik, karena kita perlu menggambar masing-masing grafik persamaan linear tiga peubah pada koordinat kartesius yang memiliki 3 sumbu koordinat. Cara paling mudah, seperti dijelaskan sebelumnya adalah dengan metode campuran eliminasi - substitusi. Jika kita hanya menggunakan satu metode, eliminasi saja atau substitusi saja akan membutuhkan proses yang cukup panjang. Berikut ini adalah proses penyelesaian SPLTP yang paling efektif. Cukup dengan lima langkah.

1. Eliminasi salah satu peubah dengan menggunakan dua persamaan.
2. Lakukan kembali eliminasi terhadap peubah yang sama dengan peubah yang dieliminasi pada nomor 1, tapi untuk dua persamaan linear yang berbeda.
3. Eliminasi salah satu peubah dari sistem persamaan linear dua peubah yang diperoleh dari hasil eliminasi pada nomor 1 dan nomor 2.
4. Substitusi peubah yang diperoleh dari hasil eliminasi nomor 3 untuk peubah pada salah satu persamaan linear dua peubah.
5. Substitusi dua nilai peubah yang diperoleh dari nomor 3 dan nomor 4 pada salah satu persamaan linear tiga peubah pada soal.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Tentukan nilai x, y, dan z pada sistem persamaan linear tiga peubah berikut ini.

x - y + z = -1 ... (1)
2x + y + 3z = 2 ... (2)
3x + 4y - z = 0 ... (3)
Kita ikuti langkah-langkah yang telah dijelaskan sebelumnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga peubah di atas.

Langkah 1: Eliminasi salah satu peubah, misalnya peubah z dengan menggunakan persamaan (1) dan (2)

Sebelumnya, kita samakan dulu koefisien z (tanpa tanda) pada kedua persamaan, yaitu dengan cara mengalikan persamaan (1) dengan bilangan 3.

Langkah 2: Eliminasi peubah z (peubah yang juga dieliminasi pada langkah 1) dengan menggunakan persamaan (1) dan (3)

Langkah 3: Eliminasi salah satu peubah dari persamaan (4) dan (5), misalnya peubah x

Untuk bisa mengeliminasi peubah x dari persamaan (4) dan (5) kalikan persamaan (4) dengan bilangan 4.

Langkah 4: Substitusi nilai y = 1 yang diperoleh dari langkah 3 pada salah satu dari persamaan (4) atau (5), misalnya pada persamaan (4)
x - 4y = -5
x - 4(1) = -5
x = -5 + 4 = -1 ... (7)

Langkah 5: Substitusi nilai y = 1 dan x = -1 pada salah satu dari persamaan (1), (2), atau (3), misalnya pada persamaan (1)
x - y + z = -1
-1 - 1 + z = -1
z = 2 - 1 = 1

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga peubah di atas adalah x = -1, y = 1, dan z = 1