Integral Fungsi Pecahan (Fungsi Rasional)

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan dimana pembilang dan penyebutnya masing-masing merupakan fungsi polinomial. Fungsi rasional yang dimaksud di sini adalah fungsi-fungsi yang berbentuk , dengan p(x) dan q(x) masing-masing fungsi polinomial berderajat m dan n dimana m<n. Secara umum, fungsi polinomial p(x) berderajat m dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

p(x)=p₀+p₁x+p₂x²+...+p_mx^m
p_m≠0

Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk menjadi bentuk yang lebih sederhana agar mudah untuk diintegralkan berdasarkan faktor dari polinomial q(x).

Perhatikan contoh berikut ini.

A dan B dapat dicari dengan menggunakan konsep kesamaan polinom berikut ini.

Menurut konsep kesamaan polinom jika ruas kiri sama dengan ruas kanan maka suku-suku sejenisnya adalah sama. Pada kasus ini kita melihat koefisien x dan konstanta pada pembilang.

2x + 1 = A(x - 2) + B(x - 1)
2x + 1 = (A + B)x - 2A - B
(A + B) = 2 dan -2A - B = 1

Dengan menggunakan penyelesaian sistem persamaan linear diperoleh nila A dan B sebagai berikut.

A = -3 dan B = 5

Gunakan teknik pengintegralan substitusi untuk menyelesaikan integral di atas.

misal u = x - 1 sehingga du = dx
misal v = x - 2 sehingga dv = dx

Dalam menguraikan bentuk fungsi rasional perlu dipahami aturan berikut ini.

1. Untuk faktor dari q(x) yang berbentuk (ax+b)^k, penguraiannya sebagai berikut.
   
2. Untuk faktor dari q(x) yang berbentuk (ax²+bx+c)^k, penguraiannya sebagai berikut.
   

Perhatikan contoh penguraian beberapa bentuk fungsi rasional berikut ini.

Nilai A, B, C, dan D masing-masing dari bentuk di atas adalah
A=B=D=1 dan C=0
Silakan uraikan prosesnya sebagai latihan.

---

A=4, B=-1, dan C=2

Untuk kasus nbm, yaitu derajat polinomial p(x) (pembilang) tidak kurang dari derajat polinomial q(x) (penyebut), sebelum diterapkan aturan penguraian di atas, perlu dilakukan penyederhanaan terlebih dulu. Perhatikan contoh berikut ini.

Dalam hal ini p(x) = x³ - 1 dan q(x) = x³ + x masing-masing merupakan fungsi polinomial berderajat 3. Berikut penyelesaiannya.

Sumber: http://aimprof08.wordpress.com/2012/04/12/teknik-integral-integral-fungsi-rasional/
dengan modifikasi seperlunya.