Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Definisi Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat peubah tertingginya dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat
ax² + bx + c = 0, a tidak sama dengan 0.

Akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Silakan baca: Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Terdapat tiga cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat.

1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
3. Menggunakan Rumus

Memfaktorkan
Faktorisasi atau pemfaktoran adalah menyatakan penjumlahan suku-suku bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Memfaktorkan persamaan kuadrat adalah membuat persamaan kuadrat tersebut menjadi perkalian dua persamaan linear. Contohnya adalah sebagai berikut.

• x² + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)
• 2x² + 10x + 12 = (2x + 4)(x + 3)

Dua contoh persamaan kuadrat di atas difaktorkan secara langsung. Perhatikan bahwa ada dua bentuk persamaan kuadrat pada masing-masing contoh. Kadang kita menemukan berbagai bentuk persamaan kuadrat. Untuk masing-masing bentuk persamaan kuadrat tersebut, terdapat cara yang berbeda dalam memfaktorkannya. Agar lebih memahami mengenai faktorisasi, mari kita bahas satu per satu metode faktorisasi berikut ini.

Faktorisasi dengan Hukum Distributif
Faktorisasi dengan hukum distributif digunakan ketika pada masing-masing suku bentuk aljabar tedapat faktor (pengali) yang sama.

Hukum distributif ini pernah dipelajari ketika belajar operasi perkalian bentuk aljabar. Perhatikan kembali hukum distributif berikut ini.
a(b + c) = ab + ac
Karena bentuk di atas dipisahkan oleh operasi sama dengan "=" maka kedua ruas tersebut berlaku bolak-balik. Artinya, jika kita menemukan faktor (pengali) yang sama di setiap suku pada bentuk aljabar, bisa kita faktorkan dengan cara hukum distributif. Perhatikan contoh berikut ini.

4a + 8
Kedua suku tersebut memiliki pengali yang sama, yaitu 4. Suku pertama dikalikan a dan suku kedua dikalikan 2. Sehingga bentuk aljabar tersebut bisa disederhanakan menjadi
4a + 4.2
Melalui hukum distributif, bentuk tersebut dapat diubah menjadi
4a + 4.2 = 4(a + 2)

9p³ + 18p⁵
Masing-masing suku pada bentuk aljabar di atas memiliki pengali yang sama, yaitu 9p³, sehingga dapat difaktorkan dengan hukum distributif sebagai berikut.
9p³ + 18p⁵ = 9p³ + 2.9p³p² = 9p³(1 + 2p²)

p(p + q) - 2q(p + q)
Perhatikan bahwa setiap suku pada bentuk aljabar tersebut mempunyai pengali yang sama, yaitu (p+q), sehingga dengan menggunakan hukum distributif, diperoleh faktor sebagai berikut.
p(p + q) - 2q(p + q) = (p + q)(p - 2q)

Persamaan kuadrat yang difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif biasanya adalah persamaan kuadrat tanpa konstanta. Contoh persamaan kuadrat yang difaktorkan dengan hukum distributif adalah sebagai berikut.
x²-4x=x(x-4)
3x²+18x=3x(x+6)

Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat
Sebelum membahas bagaimana memfaktorkan bentuk selisih dua kuadrat, kita lihat dulu yang satu ini. Dengan menggunakan hukum distributif, coba kita uraikan bentuk perkalian (x+y)(x-y).
(x+y)(x-y)=x²-xy+xy-y²=x²-y²
Bentuk terakhir itulah yang disebut dengan selisih dua kuadrat. Faktorisasi selisih dua kuadrat adalah membalik dari bentuk selisih dua kuadrat menjadi perkalian faktor-faktornya. Berarti, bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
x²-y²=(x+y)(x-y)

Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa selisih dua kuadrat cuma terdiri dari dua suku dan dioperasikan dengan operasi pengurangan. Kayaknya untuk bentuk yang ini cukup mudah memfaktorkannya. Kita langsung saja ke contoh soal dan pembahasannya.

Faktorisasi Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat kadang bisa difaktorkan dengan mudah, kadang harus difaktorkan dengan metode tertentu. Berikut ini jenis-jenis faktorisasi bentuk umum persamaan kuadrat beserta cara memfaktorkannya.

Bentuk ax² + bx + c (Untuk a = 1)
Cara pemfaktoran untuk persamaan kuadrat di atas adalah sebagai berikut.
x² + bx + c = x² + (m + n)x + mn
dengan mn = c dan m + n = b
Faktornya menjadi
x² + bx + c = (x + m)(x + n)
Contohnya sudah dikemukakan di awal, yaitu sebagai berikut.
x² + 2x - 3 = 0
(x - 1)(x + 3) = 0

Bentuk ax² + bx + c (Untuk a tidak sama dengan 1)
Berikut cara memfaktorkannya:
ax² + bx + c = ax² + px + qx + c
dengan pq = ac dan p + q = b
contoh:
3x² + 14x + 15
= 3x² + 5x + 9x + 15
= x(3x + 5) + 3(3x + 5)
= (x + 3)(3x + 5)

Cara lain memfaktorkan persamaan kuadrat ax² + bx + c (a tidak sama dengan 1)
ax² + bx + c = 1/a(ax + m)(ax + n)
dengan mn = ac dan m + n = b
contoh:
3x² + 14x + 15
= 1/3(3x + 9)(3x + 5)
= 1/3[3](x + 3)(3x + 5)
= (x + 3)(3x + 5)

Bentuk x²+2xy+y²
Bentuk ini disebut bentuk kuadrat sempurna. Perhatikan ciri-cirinya. Di sana ada suku dengan bentuk kuadrat yaitu x² dan y² dan suku 2xy yang sama dengan 2 dikalikan masing-masing akar x² dan y². Cara memfaktorkannya cukup mudah, yaitu sebagai berikut.
x²+2xy+y²=(x+y)²
Cukup kita menuliskan kuadrat dari penjumlahan akar bentuk kuadratnya.
Contoh:
x²+6x+9=x²+2(x)(3)+3²=(x+3)²

Itulah metode-metode faktorisasi untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadrat. Tidak perlu bingung memilih mana yang harus digunakan ketika memfaktorkan. Saya membahas beberapa metode faktorisasi di atas untuk memudahkan saja. Pada kasus tertentu kita tidak perlu susah-susah menfaktorkan. Intinya yang harus dipahami betul dalam memfaktorkan persamaan kuadrat ini adalah faktorisasi persamaan kuadrat dengan bentuk Bentuk ax²+bx+c untuk a=1 atau a tidak sama denga 1. Jika paham cara memfaktorkan bentuk tersebut, bentuk lainnya bisa dipahami dengan mudah.

Setelah mengetahui faktornya, dengan mudah kita bisa mencari akarnya. Persamaan kuadrat jika sudah dalam bentuk faktor-faktor, akarnya dapat dicari dengan cara membuat masing-masing faktor sama dengan nol, setelah itu cari nilai dari peubah x. Contoh mencari akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkannya terlebih dahulu adalah sebagai berikut.

• x² + 2x - 3 = 0 (x - 1)(x + 3) = 0 x = 1 atau x = -3
• 2x² + 10x + 12 = 0 (2x + 4)(x + 3) = 0 x = -2 atau x = -3
• x² - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 x = 3 atau x = -3
• x² - 10x + 25 = 0 (x - 5)² = 0 x = 5

Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Teknik melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik untuk mendapatkan bentuk kuadrat dari sebuah bilangan. Langkah terakhir dari teknik kuadrat sempurna adalah mendapatkan bentuk
(x - a)² = p.
Perhatikan contoh berikut tentang bagaimana mendapatkan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Menggunakan Rumus
Rumus akar persamaan kuadrat sebenarnya didapatkan dari bentuk umum persamaan kuadrat dan diturunkan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Berikut ini adalah rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat secara langsung.

Penggunaan rumus dalam menyelesaikan akar persamaan kuadrat adalah cara yang paling mudah. Kita tinggal substitusi koefisien x² ke a, koefisien x ke b, dan konstanta ke c. Perhatikan contoh di bawah ini.

Bonus: Pembuktian rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah salah satu dasar dari matematika yang perlu dipahami karena sangat bermanfaat dalam beberapa penyelesaian soal. Dalam penyelesaian akhir persamaan kuadrat diperoleh akar (akar-akar). Untuk memperoleh akar (akar-akar) persamaan kuadrat, ada tiga cara yang dapat digunakan, yaitu dengan memfaktorkan, dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, dan dengan menggunakan rumus. Dua cara yang terakhir yaitu metode kuadrat sempurna dan rumus mempunyai hubungan yang erat. Rumus akar persamaan kuadrat diperoleh dari metode kuadrat sempurna terhadap bentuk umum persamaan kuadrat.

Dengan menggunakan rumus, akar (akar-akar) persamaan kuadrat
ax²+bx+c=0
adalah sebagai berikut.

Sekarang kita buktikan rumus tersebut dengan menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna.
Tujuan akhirnya kita mendapatkan bentuk (x+p)²=q, sehingga untuk mendapatkan nilai x menjadi lebih mudah.

Sebuah persamaan kuadrat yang tidak memiliki konstanta bisa diubah menjadi sebuah persamaan kuadrat sempurna [(x+p)²] dengan cara menambahkan kuadrat dari setengah koefisien x persamaan kuadrat tersebut. Simak pembahasan berikutnya.

Kita tahu bahwa x²+2px+p²=(x+p)²
Apabila p = 1/2 m, persamaan di atas menjadi
x²+mx+(1/2 m)²=(x+1/2 m)²
Dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna dari x²+mx adalah dengan menambahkan (1/2 m)², sehingga diperoleh bentuk kuadrat sempurna (x+1/2 m)².

Simak pembuktian berikut ini.

TERBUKTI