Soal Mengenai Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Soal-soal berikut merupakan soal menentukan jenis akar persamaan kuadrat.

1. Perlihatkan bahwa akar-akar pers. kuadrat x² - (m + 1)x - 12 = 3m selalu rasional untuk setiap nilai m yang rasional
2. x² - ax + a² - a + 2 = 0, dengan a anggota bilangan real. Tunjukkan bahwa pers. tersebut tidak punya akar real.
3. Buktikan persamaan kuadrat ax² + a(x+1) - b(x+1) = 0 memiliki akar real.
4. Jika p dan r beda tanda, p > 0, r < 0 atau p < 0, r > 0, perlihatkan bahwa persamaan tersebut selalu punya 2 akar real yg berlainan.

Untuk nomor 1 persamaan kuadratnya menjadi x² - (m + 1)x - 12 - 3m = 0
Diskriminannya
D=[-(m + 1)]²-4(1)(-12-3m)
D=m²+2m+1+48+12m
D=m²+14m+49=(m+7)²

Karena diskriminannya berbentuk kuadrat sempurna maka akar-akarnya pasti rasional.

Untuk nomor 2, persamaan kuadrat x² - ax + a² - a + 2 = 0
Diskriminannya sebagai berikut.
D=(-a)²-4(1)(a² - a + 2)
D=a²-4a²+4a-8
D=-3a²+4a-8

Bentuk diskriminan di atas merupakan definit negatif, berarti berapa pun nilai a∈real pastilah hasilnya negatif. Artinya, diskriminan x² - ax + a² - a + 2 = 0 negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, persamaan kuadrat x² - ax + a² - a + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.

Untuk yang nomor 3, periksa diskriminan dari diskriminannya.
(2b)² - 4(-3)(b²) {peubah utamanya anggap yang a}
4b² + 12b² = 16b², bentuk terakhir ini tidak mungkin negatif.

Karena diskriminannya tidak negatif, berarti kemungkinan positif atau nol.

Artinya, persamaan kuadrat ax² + a(x+1) - b(x+1) = 0 mempunyai akar real.

Untuk nomor 4, diskriminannya q² - 4pr
untuk kasus pertama, p > 0, r < 0, diskriminannya pasti positif.

Begitu pun dengan kasus kedua. Jadi, akar-akar persamaan kuadrat px² + qx + r = 0 pastilah real dan berlainan.