Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Sebuah persamaan kuadrat dapat dicari akar-akarnya dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan dengan rumus. Bagaimana kalau masalahnya dibalik. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat dan diminta menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya telah diketahui tersebut. Bagaimana pula menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat yang telah dimodifikasi. Berikut ini pembahasannya.

Persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya x₁ dan x₂ dapat disusun dalam dua bentuk berikut:
(x-x₁)(x-x₂)=0
atau
x²-(x₁+x₂)x+(x₁)(x₂)=0

Bentuk ini dapat digunakan untuk masalah yang lebih luas lagi, contohnya bila diketahui suatu persamaan kuadrat dan ditanyakan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya. Masalah tersebut bisa saja diselesaikan dengan terlebih dahulu mencari akar persamaan kuadrat lama dan menyusunnya kembali menjadi persamaan kuadrat baru. Tapi bagaimana bila persamaan kuadratnya susah untuk dicari akarnya. Coba simak contoh berikut.

Diketahui persamaan kuadrat 3x²-5x-8=0 mempunyai akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sebagai berikut.

1. p+2 dan q+2
2. 3p dan 3q
3. 1/p dan 1/q

Jawaban:
sebelum kita cari persamaan kuadrat baru, kita cari terlebih dahulu penjumlahan dan perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui (p+q dan pq).
Berdasarkan rumus penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat, kita peroleh:

Akar-akar barunya p+2 dan q+2, menurut rumus yang sebelumnya dijelaskan, akan didapat persamaan kuadrat sebagai berikut.
x²-(p+2+q+2)x+(p+2)(q+2)=0
x²-(p+q+4)x+(pq+2p+2q+4)=0

bentuk terakhir di atas kita otak-atik supaya mendapatkan bentuk penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat (p+q dan pq).

x²-(p+q+4)x+(pq+2(p+q)+4)=0

ganti p+q dan pq dengan nilai yang telah dicari/diketahui sebelumnya.

Persamaan kuadrat barunya adalah 3x²-17x+14=0

Nomor 2 dan 3 silakan selesaikan sebagai latihan.