Refleksi Terhadap Garis y=mx+c

Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu jenis transformasi selain translasi, rotasi, dilatasi, dan sebagainya. Aturan transformasi pada refleksi tergantung dari cerminnya. Aturan pencerminan terhadap beberapa garis sederhana (mendatar atau tegak) dapat diperoleh dengan rumus langsung. Namun, jika cerminnya adalah garis secara umum, kita memerlukan matriks transformasi dalam menentukan bayangannya.

Persamaan garis yang akan kita jadikan cermin bisa dalam bentuk ax+by+c=0 atau y=mx+c. Keduanya bisa kita gunakan pada matriks transformasi khusus refleksi terhadap sebuah garis. Namun, perlu diketahui bahwa yang kita perlukan hanya gradien dan titik potong garis dengan sumbu Y. Oleh karena itu, supaya mudah kita jadikan persamaan garis menjadi bentuk eksplisit y=mx+c dimana m adalah gradien dan (0,c) merupakan titik potong garis dengan sumbu Y.

Misal pencerminan titik A(x,y) terhadap garis y=mx+c adalah A'(x',y') yang digambarkan sebagai berikut.

Gradien m dapat dinyatakan dalam tangen. Dari gambar di atas, supaya kita bisa konstruksi matriks transformasinya, kita tambahkan beberapa garis bantuan sehingga gambar di atas menjadi seperti berikut.

Pada gambar di atas θ merupakan sudut antara garis dengan sumbu X positif. Sedangkan α merupakan sudut antara ruas garis yang melalui titik potong garis dengan sumbu Y dan titik A terhadap sumbu X positif.

Segitiga dengan latar merah merupakan segitiga yang melalui titik asal A sebelum dicerminkan. Sedangkan segitiga dengan latar biru merupakan segitiga yang melalui titik A' yang merupakan bayangan dari titik A setelah dicerminkan terhadap garis dengan persamaan y=mx+c.

Dari segitiga latar merah berdasarkan perbandingan trigonometri, diperoleh
x=rcosα
y-c=rsinα

Dari segitiga dengan latar biru berdasarkan perbandingan trigonometri, diperoleh
x'=rcos(2θ-α)
y'-c=rsin(2θ-α)

Hasil yang memuat x' dan y' ini yang kita jadikan dasar untuk menyusun rumusnya. Jika dinyatakan dalam matriks maka akan diperoleh bentuk berikut.

Berdasarkan Rumus Fungsi Trigonometri Penjumlahan dan Pengurangan Dua Sudut bentuk di atas dapat diuraikan menjadi seperti berikut.

Bagian berwarna biru pada matriks di atas dapat diubah berdasarkan hasil yang diperoleh sebelumnya dari perbandingan trigonometri pada segitiga latar merah.

Bentuk ini dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks berikut.

Bentuk sebelah kiri kita nyatakan komponennya hanya x' dan y' sehingga diperoleh sebagai berikut.

Bentuk terakhir ini merupakan rumus umum refleksi terhadap garis dengan persamaan y=mx+c dengan m=tanθ

Aturan ini dapat diterapkan secara langsung jika gradien garis yang merupakan cermin merupakan nilai dari tangen sudut istimewa. Tapi jika gradiennya bukan merupakan nilai dari tangen sudut istimewa, gunakan aturan yang melibatkan perbandingan trigonometri berikut.

Misal m=tanθ
Jika digambarkan pada segitiga siku-siku maka akan berbentuk seperti berikut ini.

Nilai sin2θ dan cos2θ dapat diperoleh dari Rumus Fungsi Trigonometri Sudut Rangkap dan perbandingan trigonometri berdasarkan segitiga siku-siku di atas.

Sehingga, rumus untuk refleksi terhadap garis dengan persamaan y=mx+c bisa dinyatakan sebagai berikut.

Rumus kedua ini dapat digunakan secara langsung tanpa melibatkan trigonometri.