Rangkuman Vektor (Aljabar)

Daftar Isi

• Komponen Vektor
• Notasi Vektor
• Panjang Vektor
• Vektor Satuan
• Penjumlahan, Pengurangan, dan Resultan Vektor
• Perbandingan Vektor
• Perkalian Vektor
• Sudut Antara Dua Vektor
• Proyeksi Vektor

Vektor merupakan kajian aljabar yang biasanya digunakan untuk memecahkan permasalahan fisika seperti gerak, gaya, dan sebagainya. Vektor yang akan dibahas di sini adalah vektor sebagai kajian aljabar. Secara geometri, vektor adalah ruas garis berarah. Karena vektor merupakan ruas garis maka vektor memiliki ukuran panjang dan karena vektor memiliki arah maka vektor memiliki sudut terhadap sumbu x positif. Sebuah vektor bisa dinyatakan dalam bentuk geometri yang digambarkan sebagai sebuah ruas garis dengan arah tertentu dimana salah satunya merupakan pangkal dan satunya lagi merupakan ujung. Vektor juga dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar. Mari kita simak pembahasan mengenai vektor berikut ini.

Komponen Vektor
Vektor dibentuk dari dua buah titik dimana satu titik sebagai pangkal dan satu titik lainnya sebagai ujung. Vektor yang berpangkal di titik A(a₁,a₂) dan berujung di titik B(b₁,b₂) memiliki komponen sebagai berikut.

Jika suatu vektor berpangkal di titik pusat O(0,0) dan berujung di titik A(a₁,a₂) maka vektor tersebut cukup dituliskan dalam satu huruf sesuai huruf titiknya dan ditulis huruf kecilnya. Vektor yang berpangkal di titik pusat O dan berujung di suatu titik disebut vektor posisi. Vektor OA dapat dituliskan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa komponen vektor a sama dengan komponen titik A.

Notasi Vektor
Sebuah vektor dapat dituliskan dalam beberapa bentuk notasi. Berikut ini adalah penulisan notasi vektor.

Ketiganya memiliki arti yang sama, yaitu vektor dengan komponen v₁ dan v₂.

Panjang Vektor
Seperti dijelaskan di awal, vektor adalah ruas garis. Oleh karena itu, sebuah vektor memiliki ukuran panjang. Panjang vektor dinotasikan dengan nama vektor tersebut diapit oleh tanda |...| dan didefinisikan sebagai akar pangkat dua dari jumlah kuadrat masing-masing komponennya. Panjang dari sebuah vektor yang diperoleh dari komponen-komponennya adalah sebagai berikut.

Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu satuan. Didefinisikan sebagai vektor dibagi dengan panjangnya. Vektor satuan dari vektor dinotasikan dengan .

Jika maka vektor satuannya adalah sebagai berikut.

Penjumlahan/Pengurangan Vektor dan Resultannya
Penjumlahan/Pengurangan Vektor didefinisikan sebagai penjumlahan/pengurangan komponen-komponen vektor yang sesuai sehingga diperoleh vektor baru hasil penjumlahan/pengurangan vektor-vektor sebelumnya. Panjang vektor hasil penjumlahan/pengurangan vektor-vektor dinamakan resultan.

Penjumlahan/Pengurangan Vektor

Resultan Vektor

θ: sudut antara kedua vektor

Titik-Titik yang Kolinear dan Perbandingan Vektor
Tiga buah titik dikatakan kolinear jika sebarang dua vektor dari tiga buah titik tersebut saling berkelipatan. Misalkan A, P, dan B kolinear maka titik P akan membagi ruas garis AB dengan suatu perbandingan. Jika titik A dan titik B diketahui, titik P dapat diperoleh dengan rumus perbandingan vektor berikut ini.

Jika A, P, dan B kolinear (segaris) dan diketahui perbandingan berikut.

maka berlaku hubungan berikut.

Komponen titik P akan sama dengan komponen vektor posisi .

Perkalian Vektor
Perkalian konstanta dengan vektor
Misal k adalah konstanta dan

maka berlaku perkalian konstanta dengan vektor berikut

Perkalian skalar dua vektor


θ: sudut antara kedua vektor

Sudut antara dua vektor

Proyeksi Vektor
Untuk dua vektor yang tidak berimpit, salah satu vektor bisa diproyeksikan ke vektor yang lainnya. Terdapat dua masalah yang terdapat pada proyeksi vektor yaitu panjang proyeksi (proyeksi skalar) dan vektor hasil proyeksi (proyeksi ortogonal). Berikut ini adalah rumus untuk mencari keduanya.

Proyeksi Skalar (Panjang Vektor Proyeksi)
Misalkan a dan b adalah vektor dan c adalah proyeksi vektor a pada vektor b, panjang vektor c dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

Proyeksi Ortogonal (Vektor Proyeksi)
Misalkan a dan b adalah vektor dan c adalah proyeksi vektor a pada vektor b, vektor c dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

Sekian rangkuman mengenai vektor.