Perkalian Matriks

Perkalian Matriks dengan Skalar
Sebuah matriks dapat dikalikan dengan skalar (konstanta) dengan cara mengalikan setiap komponen matriks dengan skalar. Misal matriks A dikali dengan skalar k maka setiap komponen matriks A dikali dengan k.

Perkalian Matriks dengan Matriks
Operasi perkalian matriks berbeda dengan operasi penjumlahan/pengurangan matriks yang cukup sederhana. Operasi perkalian matriks mempunyai metode tersendiri. Dua matriks dapat dioperasikan dengan perkalian jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua, sedangkan hasil perkalian matriksnya akan memiliki baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama dan memiliki kolom yang sama banyak dengan kolom matriks kedua, dapat ditulis sebagai berikut.

A_m×n×B_n×r=(AB)_m×r

Metode perkalian dua matriks adalah memasangkan baris pada matriks pertama dengan kolom pada matriks kedua. Perhatikan metode perkalian matriks berikut ini.

Perhatikan matriks hasil perkaliannya. Baris1 pada matriks pertama adalah [a b] dan kolom1 pada matriks kedua adalah [e g]. Pasangan ini akan mengisi baris1-kolom1 pada matriks hasil perkaliannya. Memasangkannya adalah dengan menjumlahkan hasil perkalian masing-masing komponen secara berurutan, yaitu menjumlahkan ae dengan bg, ditulis ae+bg. Dengan cara yang sama, akan didapat komponen-komponen lainnya.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks
Operasi perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif dan distributif, tapi tidak memenuhi sifat komutatif.

• (k₁k₂)A=k₁(k₂A)=k₂(k₁A) [k₁ dan k₂ skalar]
• k(A+B)=kA+kB [distributif skalar terhadap penjumlahan matriks]
• (k₁+k₂)A=k₁A+k₂A [distributif penjumlahan skalar terhadap matriks]
• 0A=O [matriks nol]
• 1A=A
• -1(A)=-A
• A+A=2A, A+A+A=3A, dst
• (AB)C=A(BC) [asosiatif]
• A(B+C)=AB+AC dan (A+B)C=AC+BC [distributif]
• k(AB)=(kA)B=A(kB) [asosiatif]
• AxI=IxA=A [I matriks identitas yang bersesuaian]
• A²=AxA, A³=AxAxA, dst
• AB≠BA [tidak bersifat komutatif]

Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Nilai p yang memenuhi persamaan matriks

adalah...

Untuk menjawabnya selesaikan dulu masing-masing ruas menjadi bentuk matriks yang sederhana, setelah itu gunakan kesamaan dua matriks. Kalikan matriks pertama dengan skalar 2 setelah itu jumlahkan dengan matriks kedua pada ruas kiri. Untuk ruas kanan, kalikan kedua matriks sehingga akan diperoleh matriks 2 x 2.

Dari kesamaan matriks di atas, peubah p terletak pada baris1-kolom2, sedangkan pada matriks di ruas kanan, komponen pada baris1-kolom2 adalah -2. Menurut kesamaan dua matriks, komponen tersebut haruslah sama, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut.

2+2p=-2
2p=-4
p=-2

Jadi, nilai p dari persamaan matriks di atas adalah -2