Penggunaan Konsep Turunan

Berikut ini beberapa penggunaan konsep turunan dalam berbagai masalah. Banyak masalah yang penyelesaiannya menggunakan turunan, baik masalah matematika atau masalah lain di luar matematika.

Kecepatan Sesaat dan Percepatan Sesaat
Kecepatan pada saat t, v(t) merupakan turunan pertama dari fungsi posisi s(t), sedangkan percepatan pada saat t, a(t) merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan v(t). Dapat dikatakan bahwa percepatan a(t) adalah turunan kedua dari fungsi posisi s(t). Hubungan s(t), v(t), dan a(t) dapat dinyatakan sebagai berikut.

Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung kurva f(x) yang melalui titik (x₁,y₁) dan memiliki gradien m dapat dinyatakan sebagai berikut.
y-y₁=m(x-x₁)
dengan m=f'(x₁)

Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Stasioner
Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat diturunkan pada setiap titik dalam dari I.

• Jika f'(x)>0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.
• Jika f'(x)<0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Secara sederhana, maksud dari teorema di atas adalah untuk mencari di selang mana fungsi tersebut naik atau turun, cukup dengan menurunkan sekali fungsinya. Untuk mencari selang ketika fungsi tersebut turun, cari nilai x dari turunan pertama yang memenuhi f'(x)<0, begitu pun dengan selang ketika fungsi naik.

Titik stasioner fungsi f(x) terjadi ketika turunan pertama f(x) sama dengan 0, yaitu f'(x)=0. Misalkan a adalah penyelesaian dari f'(x)=0, (a,f(a)) disebut titik stasioner dan f(a) disebut nilai stasioner.

Menentukan Jenis Stasioner (Turunan Kedua)
Ada tiga jenis titik stasioner, yaitu titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok. Titik stasioner yang didapat ditentukan jenisnya dengan menggunakan turunan kedua. Misal titik stasioner untuk fungsi f(x) adalah (a,f(a)), dengan kata lain f'(a)=0. Jenis titik stasioner, dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

• Jika f''(a)>0 (negatif) maka f(a) merupakan nilai balik minimum dan (a,f(a)) merupakan titik minimum.
• Jika f''(a)<0 (positif) maka f(a) merupakan nilai balik maksimum dan (a,f(a)) merupakan titik maksimum.
• Jika f''(a)=0 maka (a,f(a)) merupakan titik belok.

Penyelesaian Limit Menggunakan Dalil L'Hopital
Dalil L'Hopital digunakan untuk menyelesaikan limit berbentuk

Penyelesaikannya adalah sebagai berikut.

Jika setelah x disubstitusi oleh a masih diperoleh bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, proses diferensial diteruskan sampai tidak lagi diperoleh bentuk tak tentu tersebut.