Pembuktian Rumus Transformasi Rotasi

Rotasi atau perputaran sebagai salah satu jenis transformasi memiliki aturan dalam mentransformasikan titik atau kurva dengan cara diputar terhadap titik pusat dengan besar sudut tertentu.

Berikut beberapa hal yang perlu diperhatikan mengenai transformasi rotasi.

• Pusat rotasi, merupakan titik sebagai acuan rotasi. Bisa di pusat sumbu koordinat O(0,0) atau di sebarang titik P(a,b)
• Sudut, menentukan seberapa jauh sebuah titik diputar terhadap titik pusat yang telah ditentukan. Jika disebutkan bahwa perputaran searah putaran jarum jam maka sudutnya harus diberi tanda negatif. Sebaliknya, untuk perputaran berlawanan putaran jarum jam maka sudutnya bertanda positif.

Berikut adalah gambaran rotasi titik A(x,y) terhadap titik pusat O(0,0) sejauh sudut θ pada sistem koordinat.

Rumus umum dari rotasi pada gambar di atas adalah sebagai berikut.

Darimana rumus tersebut berasal? Mari simak pembuktiannya.

Pembuktian Rumus

Pada segitiga OxA berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut.

x/r=cosα
x=rcosα

y/r=sinα
y=rsinα

Sedangkan pada segitiga Ox'A' berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut.

x'/r=cos(α+θ)
x'=rcos(α+θ)

y'/r=sin(α+θ)
y'=rsin(α+θ)

Bentuk di atas merupakan penguraian dari koordinat titik A'(x',y') yang merupakan bayangan dari titik A(x,y) jika dirotasikan terhadap titik pusat O(0,0) sejauh sudut θ berdasarkan perbandingan trigonometri dari segitiga Ox'A'. Jika bentuk x' dan y' di atas diuraikan lagi sehingga hanya memuat peubah x, y, dan sudut θ maka akan diperoleh rumus umum rotasi.

x'=rcos(α+θ)
x'=r(cosαcosθ-sinαsinθ)
x'=rcosαcosθ-rsinαsinθ
dari perbandingan trigonometri pada segitiga OxA, diperoleh bahwa rcosα=x dan rsinα=y, sehingga
x'=xcosθ-ysinθ

Silakan baca: Rumus Fungsi Trigonometri Penjumlahan dan Pengurangan Dua Sudut

y'=rsin(α+θ)
y'=r(sinαcosθ+cosαsinθ)
y'=rsinαcosθ+rcosαsinθ
y'=ycosθ+xsinθ
y'=xsinθ+ycosθ

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ
Jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi

Terbukti

Sekian pembahasan mengenai pembuktian rumus transformasi rotasi, semoga dapat membantu Kamu memahami konsep ini serta konsep terkait lainnya.