Pembuktian Rumus Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah n suku pertama dari barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio tetap atau memiliki pengali yang tetap antar suku yang berurutan. Secara umum suku ke-n barisan geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio r adalah sebagai berikut.

Un=ar^n-1

Barisan geometri untuk n suku pertama dapat dituliskan sebagai berikut.

U₁, U₂, U₃, U₄, ... , Un
a, ar, ar², ... , ar^n-1

Jumlah n suku pertama barisan geometri di atas disebut sebagai deret geometri. Misal jumlah n suku pertama barisan geometri di atas adalah S_n maka S_n dapat dituliskan sebagai berikut.

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-1
S_n = a(1 + r + r² + ... + r^n-1)

Untuk memperoleh rumus umum dari deret geometri di atas, kita perlu membuat persamaan lain sehingga bentuk di atas menjadi lebih sederhana. Caranya adalah dengan mengalikan S_n dengan r, sehingga setiap suku dari penjumlahan n suku pertama barisan geometri di atas dikalikan juga dengan rasio (r).

rS_n = ar(1 + r + r² + ... + r^n-1)
rS_n = a(r + r² + r³ + ... + rⁿ)

Kurangi bentuk rS_n dengan bentuk S_n untuk mengeleminasi beberapa suku.

rS_n-S_n = a(r + r² + r³ + ... + rⁿ) - a(1 + r + r² + ... + r^n-1)
S_n(r-1) = a(r + r² + r³ + ... + rⁿ - 1 - r - r² - ... - r^n-1)

Perhatikan bahwa pada bentuk terakhir ini ada suku-suku sejenis yang memiliki tanda berlawanan. Pasangan suku-suku sejenis yang memiliki tanda berlawanan ini hasilnya sama dengan nol. Suku-suku yang masih tersisa adalah rⁿ dan -1, sehingga kita peroleh bentuk berikut ini.

S_n(r-1) = a(rⁿ - 1)

Bentuk terakhir di atas merupakan rumus umum deret geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio r dengan r > 1. Sedangkan untuk deret geometri yang memiliki suku pertama dan rasio r yang memiliki batas -1 < r < 1 rumus deret geometrinya adalah sebagai berikut.

Dua jenis rumus di atas diperoleh dengan cara penurunan yang sama, tapi untuk batas rasio yang berbeda. Barisan geometri yang memiliki batas rasio r > 1 disebut sebagai barisan geometri divergen, yaitu barisan geometri dengan suku-suku yang memiliki nilai semakin besar dan tidak menuju ke suatu bilangan. Sedangkan barisan geometri dengan batas rasio -1 < r < 1 disebut sebagai barisan geometri konvergen, yaitu barisan geometri dengan suku-suku yang memiliki nilai semakin mengecil dan menuju ke suatu bilangan. Ada yang menarik dari barisan geometri konvergen. Deret geometri dari barisan geometri konvergen memiliki nilai untuk banyak suku tak terhingga. Cukup masuk akal, karena kalau dilihat dari batas rasio barisan geometri konvergen berarti rasionya akan berbentuk bilangan rasional a/b dengan pembilang a lebih kecil dari penyebut b. Rumus deret geometri yang digunakan untuk deret geometri konvergen dengan banyak suku tak terhingga, sesuai dengan yang sudah dijelaskan sebelumnya adalah sebagai berikut.

dengan n menuju tak terhingga.

Rumus deret geometri konvergen untuk n menuju tak terhingga ini dapat diperoleh dengan konsep limit di tak terhingga sebagai berikut.

Karena rasio dari barisan geometri konvergen ini berbentuk a/b dengan nilai a lebih kecil daripada nilai b maka pangkat n dari rasionya akan menuju nol ketika n menuju tak terhingga, sehingga kita akan memperoleh bentuk berikut.

Rumus terakhir ini adalah rumus umum deret geometri konvergen dengan suku pertama a, rasio r dengan batas -1 < r < 1, dan banyak suku tak terhingga. Sekian pembahasan tentang pembuktian rumus deret geometri.