Limit Fungsi Trigonometri

Menyelesaikan limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan penyelesaian limit lainnya. Substitusi terlebih dahulu nilai yang didekati x ke f(x). Kalau hasilnya tentu (bilangan atau tak hingga), itulah jawabannya. Tapi kalau hasilnya bentuk tak tentu (misal 0/0) harus diselesaikan dengan cara tertentu. Kita harus mencari penyebab 0/0. Cara memfaktorkan dan mengalikan dengan sekawan masih berlaku dalam menyelesaikan limit fungsi trigonometri jika didapat bentuk tak tentu. Perlu juga mengetahui rumus-rumus trigonometri untuk menyederhanakan bentuk tak tentu pada limit fungsi trigonometri.

Khusus untuk limit fungsi trigonometri ada teorema yang dapat membantu menyelesaikan bentuk tak tentu 0/0 (penjelasannya ada di bawah). Tapi teorema limit fungsi trigonometri ini tidak selalu digunakan dalam menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu. Adakalanya kita hanya perlu mengubah bentuk trigonometri dengan menggunakan identitas trigonometri. Tapi kadang kita juga perlu menggunakan baik teorema ataupun identitas trigonometri dalam menyelesaikan limit fungsi trigonometri.

Berikut ini adalah contoh penyelesaian limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu yang hanya diselesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri. Contoh soal dan pembahasan mengenai limit fungsi trigonometri lainnya bisa ditemukan di halaman kategori limit.

Teorema Limit Fungsi Trigonometri

Pembuktian Rumus
Perhatikan lingkaran satuan (lingkaran yang memiliki jari-jari sama dengan satu satuan) berikut ini.

Pada lingkaran satuan di atas terdapat segitiga OAB dan OCD yang sebangun. Pada gambar tersebut, terdapat juga juring OCB. Perhatikan bahwa titik B merupakan titik potong lingkaran dengan garis OD dimana AB tegak lurus dengan sumbu X. Sekarang kita cari koordinat masing-masing titik A, B, C, dan D.

Dari konsep perbandingan trigonometri diperoleh bahwa perbandingan sisi OA dengan OB merupakan perbandingan cos x dan OB merupakan jari-jari lingkaran satuan. Berarti panjang OB adalah 1.

Karena OB panjangnya satu satuan, bentuk di atas menjadi
OA = cos x
artinya panjang OA sama dengan cos x, berarti titik koordinat untuk titik A adalah sebagai berikut.
A(cos x,0)
Dengan cara yang sama, dapat diperoleh koordinat titik-titik B, C, dan D sebagai berikut.
B(cos x, sin x), C(1,0), dan D(1,tan x)

Ukuran tersebut dapat disajikan pada gambar berikut ini.

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa luas segitiga OAB lebih kecil daripada luas juring OCB dan kedua luas tersebut lebih kecil daripada luas segitiga OCD. Dapat kita tuliskan sebagai berikut.

Teorema limit fungsi trigonometri di atas digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu untuk sinus dan tangen. Dari teorema tersebut dapat diperoleh berbagai rumus lainnya yang dapat digunakan secara langsung untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu.
Perhatikan contoh penyelesaian limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu berikut ini.

Ternyata teorema di atas berlaku juga untuk fungsi trigonometri dengan koefisien x selain 1. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Rumus di atas merupakan bentuk modifikasi (turunan rumus) dari teorema limit trigonometri yang dijelaskan di atas. Asalkan koefisien x antara pembilang dan penyebut sama, nilainya satu. Dari sini kita bisa memperoleh rumus yang lebih mudah lagi. Perhatikan beberapa penyelesaian limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu dengan menggunakan teorema berikut ini.

Coba perhatikan secara seksama, ternyata penyelesaian limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu dengan menggunakan teorema tergantung dari koefisien x pada pembilang dan penyebut, sehingga dapat disimpulkan bahwa penyelesaian limit fungsi trigonometri bentuk tak tentu dengan menggunakan teorema limit fungsi trigonometri secara praktis adalah sebagai berikut.

Rumus umum di atas berlaku juga untuk bentuk di bawah ini.

Sekian pembahasan mengenai limit fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.