Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Perhatikan bentuk limit di bawah ini.

Limit di atas memiliki arti "jika x mendekati tak terhingga, 1/x akan mendekati berapa?" Perhatikan bahwa 1/x berupa pecahan. Penyebutnya (x) mendekati tak terhingga. Nilai suatu pecahan akan semakin besar ketika penyebutnya semakin kecil tetapi pembilangnya semakin besar. Sebaliknya, nilai pecahan akan semakin kecil ketika penyebutnya semakin besar tetapi pembilangnya semakin kecil. Pada kasus di atas, pembilang pecahan adalah 1, sedangkan penyebutnya adalah (x) yang mendekati tak terhingga. Berarti, penyebut dari 1/x sangat besar. Akibatnya, 1/x akan bernilai sangat kecil. Karena begitu besarnya penyebut, nilai pecahannya akan menuju 0 atau dapat kita tulis sebagai berikut.

Secara umum, untuk n>0 berlaku sifat berikut.

Ada dua bentuk tak tentu dalam limit tak terhingga jika langsung mensubstitusi x = ∞, yaitu:

Bentuk tak tentu ∞/∞ pada limit fungsi pecahan

Misal a_nxⁿ dan p_mx^m masing-masing merupakan suku-suku polinom dengan pangkat peubah x tertinggi dari f(x) dan g(x). Berikut ini penyelesaian secara umum limit dari pembagian f(x) oleh g(x) dengan x menuju tak hingga dan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞.

Untuk menyelesaikan bentuk limit ∞/∞ cukup kita perhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut. Kalau pangkat tertinggi pembilang lebih kecil daripada pangkat tertinggi penyebut, berarti hasilnya 0. Kalau pangkat tertinggi pembilang lebih besar daripada pangkat tertinggi penyebut, berarti hasilnya ∞. Sedangkan kalau pangkat tertinggi pembilang dan penyebut sama, hasilnya pembagian koefisien pangkat tertinggi pembilang dengan koefisien pangkat tertinggi penyebut. Mari perhatikan contoh berikut.

Secara sistematis, penyelesaian limit berbentuk ∞/∞ adalah dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan peubah berpangkat tertinggi antara pangkat tertinggi pembilang dan penyebut. Perhatikan contoh di bawah ini. Peubah berpangkat tertinggi pembilang dan penyebut adalah x³, berarti kita bagi pembilang dan penyebut masing-masing dengan x³.

Bentuk Tak Tentu ∞-∞

Untuk memahami bagaimana menyelesaikan limit yang berbentuk berikut.

Perhatikan contoh penyelesaian sistematisnya di bawah ini.

Penyelesaian soal dengan tipe seperti di atas secara umum dapat diselesaikan dengan cara berikut.

Contoh tambahan