Konsep Dasar Aljabar

Aljabar diperkenalkan pertama kali oleh seorang matematikawan Arab bernama Al-Khawarizmi. Konsep aljabar ini merupakan konsep penting dalam matematika. Dari konsep aljabar, muncul konsep-konsep baru matematika yang membuat ilmu matematika menjadi lebih berkembang.

Dasar Aljabar
Konsep aljabar yang dibahas di sini didasarkan pada operasi hitung sederhana yaitu penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan rasional. Untuk mempelajari konsep dasar aljabar ini, perlu dipahami dulu bagaimana sifat-sifat dari operasi penjumlahan dan perkalian. Untuk aljabar lebih lanjut sebenarnya tidak hanya operasi penjumlahan dan perkalian yang digunakan tapi lebih umum lagi.

Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian pada Bilangan Rasional
1. Tertutup
Suatu operasi dikatakan tertutup pada suatu himpunan jika hasil operasi anggota-anggota himpunan tersebut merupakan anggota himpunan itu juga. Operasi penjumlahan dan perkalian tertutup pada himpunan bilangan rasional karena jika sebarang dua bilangan rasional dioperasikan oleh penjumlahan dan perkalian hasilnya merupakan anggota himpunan bilangan rasional.

2. Assosiatif
Suatu operasi memiliki sifat assosiatif jika memenuhi aturan sebagai berikut.
a*(b*c) = (a*b)*c
Pada operasi penjumlahan dan perkalian terhadap himpunan bilangan rasional berlaku sifat assosiatif.

3. Memiliki Unsur Satuan / Identitas
Unsur satuan atau identitas suatu operasi terhadap himpunan tertentu merupakan anggota himpunan (misalkan i) yang memenuhi aturan sebagai berikut.
a*i = i*a = a
Unsur identitas operasi penjumlahan pada bilangan rasional adalah 0 dan unsur identitas perkalian pada bilangan rasional adalah 1.

4. Memiliki Kebalikan / Invers
Invers suatu operasi terhadap himpunan tertentu adalah anggota himpunan (misal b) yang memenuhi aturan sebagai berikut.
a*b = b*a = i
dengan i merupakan unsur identitas.
Invers operasi penjumlahan pada bilangan rasional adalah negatif dari bilangannya dan invers operasi perkalian pada bilangan rasional adalah satu per bilangannya.

5. Komutatif
Suatu operasi terhadap himpunan tertentu memiliki sifat komutatif jika memnuhi aturan sebagai berikut.
a*b = b*a
Pada operasi penjumlahan dan perkalian terhadap bilangan rasional berlaku sifat komutatif.

6. Distributif
Dua operasi misalnya perkalian terhadap penjumlahan memiliki sifat distributif jika memenuhi aturan sebagai berikut.
a(b+c) = ab+ac
Pada bilangan rasional, berlaku sifat distributif.

Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar secara umum ditulis dalam bentuk berikut.
ax + b
a disebut koefisien x, sedangkan x disebut peubah atau variable, dan b disebut konstanta.

Persamaan
Persamaan adalah kalimat matematika yang memiliki peubah serta memiliki tanda sama dengan.
Contoh persamaan adalah sebagai berikut.
2x - 1 = 0

Himpunan Penyelesaian Persamaan
Himpunan penyelesaian persamaan didasarkan pada sifat-sifat operasi yang dijelaskan sebelumnya. Himpunan penyelesaian suatu persamaan adalah nilai peubah yang membuat persamaan tersebut menjadi benar.
Contoh penyelesaian persamaan.
2x + 4 = 0
Tujuan dari penyelesaian persamaan di atas adalah mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga menjadi kalimat matematika yang benar. Berikut ini adalah langkah sistematis penyelesaian persamaan di atas.
2x + 4 + (-4) = 0 + (-4)
[ruas kiri sama dengan ditambahkan dengan -4 yang merupakan invers dari bilangan 4 terhadap operasi penjumlahan, karena ruas kiri ditambahkan -4, ruas kanan sama dengan juga harus ditambahkan dengan bilangan -4.]
2x = -4
(1/2)2x = (1/2)(-4)
[ruas kiri sama dengan dikalikan dengan 1/2 yang merupakan invers bilangan 2 terhadap perkalian, karena ruas kiri dikalikan 1/2, ruas kanan juga harus dikalikan bilangan yang sama yaitu 1/2.]
x = -2
Nilai di atas merupakan penyelesaian dari persamaan 2x + 4 = 0. Kita bisa menulis himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.
HP = {-2}