Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah transformasi yang diperoleh dari gabungan dua transformasi atau lebih. Penyelesaian masalah komposisi transformasi bisa dengan dua cara, yaitu dengan cara pemetaan dan dengan cara matriks. Penyelesaian komposisi transformasi dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikan. Misal titik A ditransformasikan pertama oleh T₁ dilanjutkan oleh T₂, bayangannya diperoleh dengan cara menentukan bayangan A terhadap T₁ terlebih dahulu, misalkan bayangannya adalah A', kemudian menentukan bayangan A' oleh transformasi T₂ sehingga menghasilkan bayangan A". Titik A" ini merupakan bayangan dari titik A yang ditransformasikan oleh T₁ dilanjutkan dengan transformasi T₂.

Dalam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini.

Cara lainnya untuk menyelesaikan masalah komposisi transformasi adalah dengan matriks. Dengan cara ini, bayangan hasil dua transformasi atau lebih dapat diperoleh dengan cara langsung tanpa harus menentukan bayangan hasil transformasi satu per satu.

Bentuk pemetaan di atas jika dituliskan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut.

Notasi T₁ dan T₂ berturut-turut merupakan matriks transformasi T₁ dan matriks transformasi T₂. Perhatikan bahwa penulisan secara matriks urutan penulisannya berbeda dengan cara pemetaan. Transformasi kedua, yaitu T₂ dituliskan pertama dan transformasi pertama, yaitu T₁ dituliskan kedua. Penulisan ini tidak boleh terbalik karena dalam komposisi tidak ada sifat komutatif, kecuali komposisi dua translasi. Karena translasi dalam bentuk matriks menggunakan operasi penjumlahan.

Komposisi Translasi

Jika titik A(x,y) ditranslasikan berurutan oleh T₁=(a,b) dilanjutkan oleh T₂=(c,d), kedua translasi tersebut dapat dinyatakan dalam translasi tunggal sesuai dengan pembahasan di atas.

Dalam bentuk pemetaan dituliskan sebagai berikut.

Sedangkan dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai berikut.

Komposisi Transformasi Selain Translasi

Untuk komposisi transformasi selain translasi jika dituliskan dalam bentuk matriks, operasi yang digunakan adalah operasi perkalian matriks. Dalam menggunakan cara ini, perkalian matriks tidak boleh terbalik karena pada operasi perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Misalnya titik A(x,y) ditransformasikan oleh transformasi T₁ yang diketahui matriks transformasinya dilanjutkan dengan transformasi T₂ yang juga diketahui matriks transformasinya, penulisan dalam bentuk pemetaannya adalah sebagai berikut.

Komposisi transformasi di atas bila ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut.

Komposisi Rotasi Sepusat

Misalkan R_A adalah rotasi sejauh A dengan pusat rotasi di titik pusat O(0,0) dan R_B adalah rotasi sejauh B di titik pusat O(0,0). Jika titik P(x,y) dirotasikan oleh R_A dilanjutkan dengan rotasi oleh R_B maka secara pemetaan, bentuk transformasinya dapat dituliskan sebagai berikut.

Dalam bentuk matriks, transformasi rotasi di atas dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika kita lanjutkan dengan mengalikan kedua matriks di atas, akan diperoleh bentuk sebagai berikut.

Perhatikan bahwa masing-masing komponen matriks di atas merupakan rumus trigonometri dari penjumlahan dua sudut. Jika disederhanakan akan menjadi bentuk sebagai berikut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika suatu titik ditranformasikan secara berturut-turut oleh tranformasi rotasi R_A dan dilanjutkan oleh tranformasi rotasi R_B dengan pusat rotasi yang sama maka kita kita akan mendapatkan transformasi rotasi R_A+B dengan pusat yang sama dengan pusat rotasi sebelumnya.