Bilangan Bulat dan Operasinya

Bilangan bulat atau himpunan bilangan bulat merupakan gabungan dari himpunan bilangan asli, himpunan bilangan asli negatif, dan bilangan nol. Operasi pada bilangan bulat positif sama dengan operasi pada bilangan asli. Sedangkan untuk bilangan bulat yang salah satu atau keduanya bertanda negatif ada aturan tertentu untuk mengoperasikannya.

Penjumlahan dua bilangan bulat cukup mudah dilakukan. Perhatikan saja tanda bilangan yang dijumlahkannya. Jika keduanya memiliki tanda yang sama, jumlahkan saja kedua bilangan tersebut dan tandanya mengikuti tanda yang sama pada kedua bilangan yang dijumlahkan.

Contoh:
1 + 2 = 3
(kedua bilangan yang dijumlahkan bertanda positif, hasil penjumlahannya juga bertanda positif)
-1 + (-2) = -3
(kedua bilangan yang dijumlahkan bertanda negatif, hasil penjumlahannya juga bertanda negatif)

Jika tanda kedua bilangan berbeda, perhatikan bilangan mana (tanpa tanda) yang lebih besar. Cari selisihnya dan tanda hasilnya mengikuti tanda bilangan yang lebih besar (tanpa tanda).

Contoh:
-4 + 5 = 1
5 (bertanda positif) lebih besar dari 4 (tanpa tanda negatif) dan selisih dari 4 dan 5 adalah 1, tanda hasilnya mengikuti tanda bilangan 5 (positif).

4 + (-5) = -1
5 (bertanda negatif) lebih besar dari 4 dan selisih dari 4 dan 5 adalah 1, tanda hasilnya mengikuti tanda bilangan 5 (negatif).

Pengurangan bilangan bulat sama dengan penjumlahan bilangan bulat dengan negatif dari bilangan keduanya.

a - b = a + (-b)
-a - b = -a + (-b)
a - (-b) = a + (-(-b)) = a + b
-a - (-b) = -a + (-(-b)) = -a + b

Untuk perkalian (dan pembagian) bilangan bulat caranya mirip dengan perkalian pada bilangan asli tetapi tanda hasil perkaliannya (atau pembagiannya) mengikuti aturan tertentu. Aturannya adalah sebagai berikut.

Jika dua bilangan yang dikalikan (atau dibagi) memiliki tanda yang sama maka hasilnya bertanda positif. Jika dua bilangan yang dikalikan (atau dibagi) memiliki tanda yang berbeda (satu positif dan satu negatif) maka hasilnya bertanda negatif.

Mungkin beberapa guru ada yang pernah mendapat pertanyaan dari siswanya mengenai tandah hasil perkalian (dan pembagian) bilangan bulat. Bagaimana kalau pertanyaan itu tiba-tiba muncul dari siswa yang masih anak-anak? Bagi yang memang belum terpikir mungkin akan mencari-cari alasan yang masuk akal agar siswa berhenti bertanya. Jangan sampai siswa merasa tidak puas dengan jawaban dari pertanyaannya, apalagi dimarahi ketika bertanya. Hal tersebut akan membuat siswa trauma untuk bertanya kembali sesuatu yang belum ia ketahui. Padahal bertanya itu bagus bagi perkembangan anak. Saya pernah ngobrol dengan dosen pembimbing saya mengenai hal ini. Walaupun hanya berlaku untuk bilangan bulat, bagi siswa SD-SMP rasanya pembuktian berikut cukup memuaskan.

Ingat kembali definisi perkalian ("perkalian adalah penjumlahan berulang suatu bilangan"). Ambil perkalian bilangan kelipatan 3 misalnya, pasti sudah bisa, kan (atau mungkin hapal).
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
...
Hasil perkalian 6 x 3, 7 x 3, 8 x 3, dan seterusnya bisa didapatkan dengan menambahkan 3 pada hasil sebelumnya. Sekarang, bagaimana kalau dibalik urutannya.
5 x 3 = 15
4 x 3 = 12
3 x 3 = 9
2 x 3 = 6
1 x 3 = 3
0 x 3 = 0
-1 x 3 = ?
...
Polanya masih sama untuk mendapatkan hasil berikutnya, kurangi hasil sebelumnya oleh 3, sehingga kalau dilanjutkan akan menjadi seperti berikut ini.
5 x 3 = 15
4 x 3 = 12
3 x 3 = 9
2 x 3 = 6
1 x 3 = 3
0 x 3 = 0
-1 x 3 = 0- 3 = -3
-2 x 3 = -3- 3 = - 6
-3 x 3 = -6 - 3 = -9
...
Apabila dilanjutkan, nilainya akan selalu negatif. Terlihat di sana bahwa perkalian bilangan positif dan bilangan negatif adalah bilangan negatif. Itulah salah satu contoh jawaban yang dapat menunjukkan mengapa perkalian positif dan negatif hasilnya negatif. Tapi ingat, metode ini hanya untuk bilangan bulat, tidak bisa disimpulkan langsung secara umum untuk semua bilangan.

Terus kalo ditanya kenapa bil. negatif dikali bil.negatif atau bil.negatif berpangkat genap hasilnya selalu positif?

Saya dapet pembuktiannya dengan teorema dari analisis real. Bunyi teoremanya adalah sebagai berikut.
Jika ab>0 maka (i) a>0 dan b>0 atau (ii) a<0 atau b<0.
Bukti:
Jika ab>0 maka a tidak sama dengan nol dan b tidak sama dengan nol.
Dari sifat trikotomi, kemungkinan a>0 atau a<0.
Jika a>0 maka 1/a>0. Oleh karenanya, b=(1/a)(ab)>0.
Begitu pula jika a<0 maka 1/a<0, sehingga b=(1/a)(ab)<0.
Q.E.D.

Kalau pake yang cara di atas juga bisa. Coba aja ubah polanya. Kan udah tahu tuh dari bentuk di atas kalau positif kali negatif hasilnya negatif. Sekarang pengali tetapnya ubah jadi negatif. Niy contohnya.
5 x -2 = -10
4 x -2 = -8
3 x -2 = -6
2 x -2 = -4
1 x -2 = -2
0 x -2 = 0

Pola hasil perkaliannya kan +2. Nah untuk mendapatkan suku berikutnya adalah dengan menambahkan suku sebelumnya oleh dua. Kalau dilanjutkan pola di atas akan menjadi
-1 x -2 = 2
-2 x -2 = 4
-3 x -2 = 6 ...

Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan bulat dan operasinya. Konsep ini cukup mendasar karena dari konsep ini sangat dibutuhkan untuk memahami materi matematika selanjutnya.