Bentuk Akar dan Operasinya

Perhatikan akar dari persamaan kuadrat berikut.

x²-2=0 ⇔ x=±√2

Akar dari persamaan kuadrat di atas salah satunya adalah √2. Bilangan ini tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan pembilang dan penyebutnya bilangan bulat. Artinya, √2 merupakan bilangan irasional, karena tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan yang pembilang dan penyebutnya bilangan bulat. Bentuk √2, √3, √5, dan sebagainya disebut sebagi bentuk akar.

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

Definisi di atas memiliki arti bahwa tidak setiap bilangan yang dibubuhi tanda akar merupakan bentuk akar. Perhatikan akar dari bilangan-bilangan berikut ini.

• √9 bukan bentuk akar, karena √9=3 (bilangan rasional)
• √64 bukan bentuk akar, karena √64=8 (bilangan rasional)
• √0,25 bukan bentuk akar, karena √0,25=0,5=1/2 (bilangan rasional)

Menyederhanakan Bentuk Akar

Perhatikan aturan berikut ini.

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, berlaku
√a × b=√a × √b

Dengan menggunakan aturan di atas, bentuk akar √a × b bisa disederhanakan lagi jika salah satu a atau b merupakan bilangan kuadrat.

Langsung saja menggunakan contoh. Mari kita sederhanakan bentuk akar √8 dengan menggunakan aturan di atas. Jadikan bilangan 8 sebagai perkalian dari dua bilangan dengan salah satu bilangannya merupakan bilangan kuadrat (dapat diakarkan | merupakan kuadrat dari sebuah bilangan).

Agar √8 bisa disederhanakan, kita jadikan bilangan 8 sebagai perkalian 4 dan 2. Karena 4 merupakan bilangan kuadrat.

Gunakan aturan di atas.

√8=√4×2
=√4×√2
=2×√2
=2√2

Sebagai latihan, silakan sederhanakan bentuk akar dari √12, √75, √125, dan √300

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian berlaku juga pada bentuk akar. Berikut pembahasannya.

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan sebagai berikut.
a√c+b√c=(a+b)√c
dan a√c-b√c=(a-b)√c

Dua buah bentuk akar bisa dioperasikan dengan operasi penjumlahan/pengurangan sehingga menjadi sederhana dengan syarat masing-masing suku yang dioperasikan harus memiliki bentuk akar yang sama. Pada rumus di atas, kedua suku yang dioperasikan adalah √c. Sedangkan yang dioperasikan hanya koefisien dari masing-masing bentuk akar tersebut.

Perkalian Bentuk Akar

Rumus perkalian bentuk akar sama seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, yaitu sebagai berikut.
√a × b=√a × √b

Menarik Akar Kuadrat

Operasi bentuk akar menyederhanakan beberapa bentuk akar menjadi bentuk paling sederhana. Kalau memenuhi syarat, hasil operasi beberapa bentuk akar bisa menghasilkan hanya satu suku saja. Menarik akar kuadrat merupakan suatu metode penguraian operasi di dalam akar menjadi penjumlahan atau pengurangan dua bentuk akar.

Berikut ini rumus umum menarik akar kuadrat.

• √(a+b)+2√ab=√a+√b
• √(a+b)-2√ab=√a-√b, a > b

Bukti

(√a+√b)2	=	(√a+√b)(√a+√b)
	=	√a×√a+√a×√b+√b×√a+√b×√b
	=	a+√ab+√ab+b
	=	a+2√ab+b
	=	(a+b)+2√ab
√a+√b	=	√(a+b)+2√ab

Pembuktian di atas bisa juga digunakan untuk bentuk pengurangannya.

Contoh

√5+2√6
=√(3+2)+2√3×2
=√3+√2

√8-√60
=√8-2√15
=√(5+3)-2√5×3
=√5-√3

Catatan: dalam menarik bentuk akar √(a+b)+2√a×b, pengali dari √a×b haruslah 2. Bila belum 2, harus dijadikan 2 dengan cara menyederhanakan bentuk akar yang sebelumnya sudah dijelaskan. Bisa juga dilihat pada contoh di atas.