5 Permasalahan Persamaan Lingkaran Beserta Penyelesaiannya

Secara umum, persamaan lingkaran dapat disusun hanya menggunakan bentuk baku persamaan lingkaran.

(x-a)²+(y-b)²=r²

Asalkan pusat (a,b) dan jari-jari r sudah diketahui keduanya. Tetapi pada beberapa kondisi, salah satu atau keduanya tidak diketahui. Walaupun demikian, permasalahan seperti ini biasanya menyertakan petunjuk lainnya.

Berikut 5 permasalahan dalam menyusun persamaan lingkaran jika pusat atau pun jari-jari tidak diketahui.

Diketahui Lingkaran Melalui Tiga Titik

Jika ditemui sebuah lingkaran melalui tiga buah titik, penyelesaiannya adalah dengan substitusi ketiga titik tersebut ke bentuk umum persamaan lingkaran sehingga diperoleh sistem persamana linear tiga peubah. Kemudian kita bisa menyusun kembali persamaan lingkarannya.

Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik K(5,2), L(-1,2), dan M(3,6).

Kita misalkan dengan bentuk umum persamaan lingkaran.

x²+y²+Ax+By+C=0

Substitusi masing-masing titik ke bentuk umum persamaan lingkaran.

5²+2²+5A+2B+C=0
(-1)²+2²-A+2B+C=0
3²+6²+3A+6B+C=0

Dengan penyelesaian sistem persamaan tiga peubah dari SPLTP di atas, kita tentukan nilai A, B, dan C. Setelah diperoleh, substitusi kembali masing-masing nilai A, B, dan C ke bentuk umum persamaan lingkaran.

Diketahui Pusat Lingkaran dan Melalui Sebuah Titik

Persamaan lingkaran yang diketahui titik pusatnya dan melalui sebuah titik diselesaikan dengan menentukan jari-jarinya terlebih dahulu menggunakan rumus jarak antara dua titik.

Misal diketahui sebuah lingkaran memiliki titik pusat (a,b) dan melalui titik (p,q) maka jari-jarinya sama dengan jarak antara titik pusat (a,b) dan titik (p,q) dengan rumus sebagai berikut.

r=√(p-a)²+(q-b)²

Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5).

Jari-jari dari lingkarannya diperoleh dengan rumus jarak antara dua titik berikut.
r=√(1-(-2))²+(5-3)²
r=√(3)²+(2)²
r=√9+4
r=√13

Persamaan lingkarannya
(x+2)²+(y-3)²=13

Diketahui Titik Pusat Lingkaran dan Menyinggung Sumbu Koordinat

Lingkaran yang diketahui pusat dan melalui sumbu koordinat dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan jari-jarinya. Salah satu dari absis atau ordinat titik pusat merupakan jari-jari lingkaran yang diketahui menyinggung sumbu koordinat.

Misal sebuah lingkaran memiliki titik pusat (a,b)
Jika lingkaran menyinggung sumbu X maka jari-jari=|b|
Jika lingkaran menyinggung sumbu Y maka jari-jari=|a|

Jari-jarinya menggunakan nilai mutlak karena koordinat titik pusat bisa saja bertanda negatif, sedangkan jari-jari pasti merupakan bilangan positif.

Contoh
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-3,4) dan menyinggung sumbu Y.

Dari penjelasan di atas, persamaan lingkaran tersebut memiliki jari-jari |-3|
persamaan lingkarannya
(x+3)²+(y-4)²=9

Diketahui Koordinat Titik Pusat Lingkaran dan Menyinggung Sebuah Garis

Jari-jari lingkaran yang diketahui pusatnya (a,b) dan menyinggung sebuah garis (px+qy+r=0) ditentukan dengan rumus jarak antara sebuah titik dan garis.

Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-2) dan menyinggung garis 5x-12y+10=0

Terlebih dahulu tentukan jari-jarinya menggunakan rumus di atas. Penyelesaiannya silakan sebagai latihan.

Diketahui Koordinat Ujung-Ujung Diameter

Jika diketahui sebuah lingkaran memiliki diameter A(x_a,y_a) dan B(x_b,y_b) maka pusat dan jari-jari dapat ditentukan dengan rumus titik tengah dan rumus jarak sebagai berikut.

Pusat
P((x_a+x_b)/2,(y_a+y_b)/2)

Jari-jari
r=(1/2)D
D=(1/2)√(x_b-x_a)²+(y_b-y_a)²

Contoh soal menentukan persamaan lingkaran yang diketahui koordinat ujung-ujung diameter
Diketahui titik A(2,4) dan titik B(6,6). Tentukan persamaan lingkaran dengan diameter AB.
Silakan jawab menggunakan rumus di atas sebagai latihan.

Demikian pembahasan mengenai penyelesaian beberapa permasalahan permasalahan lingkaran. Semoga membantu Kamu memahami materi ini.