Teorema Sisa

Sebelum membahas pokok dari teorema sisa, ingat kembali konsep nilai polinom dan pembagian dua polinom. Pada kedua konsep tersebut, nilai sebuah polinom untuk nilai peubah tertentu dapat dicari dengan cara horner atau cara sintetis. Cara horner ini bisa digunakan juga untuk mencari hasil dan sisa pembagian dua polinom.

Pembagian polinom bisa dilakukan dengan cara bersusun dan cara horner. Berikut ini adalah masing-masing pembagian dua polinom menggunakan dua cara berbeda, yaitu dengan cara bersusun dan cara horner.

Pada kasus pembagian polinom di atas, 6 merupakan sisa pembagian. Bilangan 6 tersebut bisa juga diartikan sebagai nilai polinom ketika x = -1. Ternyata sisa pembagian sebuah polinom oleh bentuk (x - a) sama dengan nilai polinom tersebut ketika x = a. Berikut ini bunyi dari teorema sisa dan konsep-konsep yang berhubungan dengan teorema sisa.

• Sisa pembagian polinom f(x) oleh (x - a) adalah f(a)
• Sisa pembagian polinom f(x) oleh (ax - b) adalah f(b/a)

Sebuah polinom bisa dinyatakan dalam pembagi, hasil bagi, dan sisa sebagai berikut.
f(x) = p(x) h(x) + s(x)
polinom = pembagi . hasil + sisa

Derajat sisa pembagian polinom adalah 1 kurangnya dari derajat pembagi. Ditulis sebagai berikut.
deg[s(x)] = deg[p(x)] - 1

Contoh soal:
Polinom F(x) dibagi (x-2) bersisa 5, sedangkan F(x) dibagi (x-3) bersisa 7. Tentukan sisa pembagian F(x) oleh x² - 5x + 6.

Mari kita bahas bagaimana mendapatkan jawabannya.
Dari soal diketahui polinom F(x) dibagi (x - 2) bersisa 5. Menurut teorema sisa, pembagian polinom F(x) dengan (x - 2) akan bersisa F(2). Dengan demikian F(2) = 5. Ini berlaku juga untuk pernyataan "F(x) dibagi (x - 3) bersisa 7" yang berarti F(3) = 7. Nah, dari yang diketahui ini sekarang kita menuju ke yang ditanyakan.

Ingat bahwa sebuah polinom bisa dinyatakan dalam pembagi, hasil, dan sisa. Pembagi dalam soal di atas adalah x² - 5x + 6. Berarti polinom F(x) bisa dinyatakan sebagai berikut.
F(x) = (x² - 5x + 6) H(x) + S(x)
Derajat pembagi adalah 2, berarti derajat sisanya adalah 1. Secara umum, sisanya dapat dinyatakan sebagai
S(x) = ax + b, sehingga
F(x) = (x² - 5x + 6) H(x) + (ax + b)
Bila diperhatikan, pembagi di atas dapat difaktorkan sebagai (x - 2)(x - 3), sehingga
F(x) = (x - 2)(x - 3) H(x) + (ax + b)
Dari bentuk terakhir, substitusi x dengan 2 dan dengan 3. Kenapa demikian? Karena substitusi bilangan tersebut menyebabkan polinom hanya terdiri atas sisanya saja serta F(2) dan F(3) sudah diketahui sebelumnya.
F(2) = (2 - 2)(2 - 3) H(2) + (a(2) + b)
5 = 2a + b
F(3) = (3 - 2)(3 - 3) H(3) + (a(3) + b)
7 = 3a + b

Dengan menyelesaikan sistem persamaan di atas, diperoleh a = 2 dan b = 1.

Jadi, sisa pembagian F(x) oleh x² - 5x + 6 adalah S(x) = 2x + 1