Teknik Integral Substitusi

Beberapa soal integral fungsi tidak bisa diselesaikan dengan hanya menggunakan rumus dasar integral berikut.

Oleh karena itu, perlu metode/teknik untuk menyelesaikannya. Teknik yang digunakan tergantung pada jenis soalnya. Teknik pengintegralan yang akan dibahas di sini adalah teknik substitusi. Untuk teknik-teknik lainnya akan dijelaskan di halaman lainnya.

Teknik substitusi berdasar pada turunan fungsi komposisi. Ingat bahwa turunan dari y=f(g(x)) adalah y'=f'(g(x))×g'(x). Dari bentuk tersebut, diperoleh

d(f(g(x))/dx=f'(g(x))×g'(x)
⇔ d(f(g(x))=f'(g(x))×g'(x) dx
⇔ ∫ d(f(g(x))=∫ f'(g(x))×g'(x) dx
⇔ f(g(x))+C=∫ f'(g(x))×g'(x) dx
⇔ ∫ f'(g(x))×g'(x) dx=f(g(x))+C

Jika dimisalkan u=g(x) maka berlaku

du/dx=g'(x) ⇔ du=g'(x)dx

Pemisalan ini kita gunakan untuk mengganti bentuk pada baris terakhir di atas.

∫ f'(g(x))×g'(x) dx=f(g(x))+C
menjadi ∫ f'(u) du=f(u)+C

Bentuk terakhir ini sesuai dengan definisi integral.

Pembahasan di atas merupakan dasar dari teknik substitusi untuk penyelesaian integral. Perhatikan bahwa fungsi yang penyelesaiannya menggunakan substitusi terdiri dari perkalian sebuah fungsi dengan turunannya. Bingung? Untuk lebih jelasnya, simak penyelesaian soal integral fungsi aljabar dengan substitusi berikut ini.

Contoh:
∫ 4x3(x4-1)4 dx

Perhatikan integral di atas. Integrannya terdiri dari dua fungsi yaitu y=4x3 dan y=x4-1. Salah satu dari fungsi tersebut yaitu y=4x3 merupakan turunan dari fungsi y=x4-1.

Jika u=x4-1 maka du/dx=4x3

Bagaimana mengintegralkannya? Berikut ini langkah-langkahnya:

  • Misalkan fungsi yang kalau diturunkan menjadi fungsi lainnya menjadi fungsi u (bisa juga huruf lainnya).
  • Turunkan fungsi u terhadap x menggunakan notasi leibniz du/dx.
  • Nyatakan notasi leibniz di atas menjadi bentuk dx = ...
  • Substitusikan pemisalan ke integral semula.

Mari kita gunakan langkah tersebut untuk menyelesaikan soal pada contoh di atas.

∫ 4x3(x4-1)4 dx=...

Misal u=x4-1
du/dx=4x3
dx=du/(4x3)

bentuk di atas menunjukkan bagaimana pemisalan sebelumnya diterapkan pada integral.

Berikut proses penyelesaian integral hasil substitusi di atas.

Untuk integral tentu yang penyelesaian integralnya menggunakan teknik substitusi harus diperhatikan batas-batasnya setelah substitusi. Perhatikan contoh penyelesaian berikut ini.

batas bawah dan batas atas pada integral di atas merupakan batas untuk peubah x jangan menggunakan batas ini untuk u lebih baik selesaikan dulu integralnya, gunakan batasnya di akhir penyelesaian setelah semua peubah kembali menjadi x.

misal u=3x2+1
du/dx=6x
dx=du/6x

Bisa juga menghemat proses dengan langsung substitusi batas-batasnya pada saat peubah masih u. Tetapi batasnya juga harus menyesuaikan.

Jika untuk peubah x batas bawahnya adalah 0 maka untuk peubah u batas bawahnya adalah hasil substitusi 0 (batas bawah utk x) ke integran. Begitu pun dengan batas atasnya.

Contoh soal lainnya (silakan coba sebagai latihan)

Oleh Opan
Dibuat 21/04/2011
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Protected by Copyscape