Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri Sinus dan Cosinus

Rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri sinus dan cosinus merupakan rumus yang mengubah bentuk jumlah atau selisih dua fungsi sinus serta cosinus menjadi perkalian fungsi trigonometri. Pada pembahasan rumus ini, diperoleh juga cara mengubah bentuk perkalian menjadi jumlah atau selisih fungsi trigonometri. Selain mengetahui rumusnya, pada halaman ini disajikan pula pembuktiannya.

Rumus Jumlah / Selisih Fungsi Trigonometri Sinus dan Cosinus

Rumus ini terdiri dari 4 jenis, yaitu penjumlahan sinus, pengurangan sinus, penjumlahan cosinus, dan pengurangan cosinus.

• sin x + sin y = 2 sin 1/2(x+y) cos 1/2(x-y)
• sin x - sin y = 2 cos 1/2(x+y) sin 1/2(x-y)
• cos x + cos y = 2 cos 1/2(x+y) cos 1/2(x-y)
• cos x - cos y = -2 sin 1/2(x+y) sin 1/2(x-y)

Untuk menghapal rumus di atas, kita bisa menggunakan mnemonics berikut ini.

Sayang + Sayang = Semakin Cinta
Sayang - Sayang = Cinta Sirna
Cinta + Cinta = Cenat Cenut
Cinta - Cinta = Aduh Sayang Sekali

Cara membaca mnemonic di atas adalah sebagai berikut.

Sayang dibalas sayang, semakin cinta
Sayang tidak dibalas sayang, cinta sirna
dan seterusnya

Perhatikan saja huruf depannya. Sayang, huruf depannya S untuk SINUS. Sendangkan Cinta, huruf depannya C untuk COSINUS. Sedangkan kata "Aduh" menandakan tanda negatif.

Bisa juga dengan menggunakan nyanyian seperti pada video di bawah.

Rumus Konversi Perkalian ke Penjumlahan / Pengurangan

Rumus kebalikan dari rumus di atas adalah mengubah bentuk perkalian dua fungsi trigonometri (sinus dan / atau cosinus) menjadi jumlah atau selisih fungsi trigonometri sinus dan cosinus. Berikut rumusnya.

• 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
• 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B)
• 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A_B)
• -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A_B)

Rumus-rumus di atas diperoleh dari rumus fungsi trigonometri penjumlahan dan pengurangan dua sudut. Berikut pembuktiannya.

Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus

Operasi di bawah ini menunjukkan bagaimana jika kita mengeliminasi salah satu suku dari rumus penjumlahan dan pengurangan dua sudut untuk fungsi sinus.

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B +
sin (A+B) + sin (A-B) = 2sin A cos B
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin(A-B)

Ternyata kita mendapatkan rumus konversi perkalian fungsi sin dan cos ke penjumlahan dua fungsi sinus.

misal x = A+B dan y = A-B
A = 1/2(x+y)
B = 1/2(x-y)
sehingga
sin (A+B) + sin (A-B) = 2 sin A cos B
menjadi sin x + sin y = 2sin 1/2(x+y) cos 1/2(x-y)

Bentuk di atas merupakan rumus dari penjumlahan dua fungsi sinus. Untuk pembuktian rumus lainnya, silakan sebagai latihan.

Contoh Soal dan Jawaban

Demikian pembahasan mengenai rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri sinus dan cosinus. Semoga dapat membantu Kamu memahami konsep ini.