Rangkuman Persamaan Lingkaran

Daftar Isi

• Persamaan Lingkaran
• Posisi Titik Terhadap Lingkaran
• Posisi Garis Terhadap Lingkaran
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang sama tersebut maksudnya adalah jari-jari dan titik tertentunya adalah titik pusat. Pada post ini akan dibahas materi lingkaran secara aljabar. Dimana sebuah lingkaran dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti kurva-kurva lainnya yang bisa dinyatakan dalam bentuk persamaan. Selain membahas mengenai persamaan lingkaran, terdapat juga pembahasan mengenai posisi titik dan garis terhadap lingkaran serta bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui titik singgungnya atau gradien garis singgunya.

Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran berpusat O(0,0) dan berjari-jari r
x²+y²=r²

Persamaan lingkaran berpusat P(a,b) dan berjari-jari r
(x-a)²+(y-b)²=r²

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
x²+y²+Ax+By+C=0

Dari bentuk umum persamaan lingkaran di atas, pusat dan jari-jarinya adalah sebagai berikut.

Menentukan Pusat dan Jari-Jari Jika Diketahui Berbagai Kondisi
Diketahui pusat (a,b) dan melalui (p,q)
r=√(p-a)²+(q-b)²
Rumus jarak antara dua titik

Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu koordinat

• Jika menyinggung sumbu X jari-jarinya sama dengan b (r=b)
• Jika menyinggung sumbu Y jari-jarinya sama dengan a (r=a)

Pusat(a,b) dan menyinggung garis px+qy+c=0

Rumus jarak antara titik dan garis yang diketahui persamaannya

Jika diketahui koordinat ujung-ujung diameter (x₁,y₁) dan (x₂,y₂)

Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Posisi titik (x₁,y₁) terhadap lingkaran dapat diketahui dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Substitusi titik (x₁,y₁) ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh bentuk berikut.
   x₁² + y₁² ? r²
   (x₁-a)² + (y₁-b)² ? r²
   x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C ? 0
2. Perhatikan bagaimana hubungan ruas kiri ? dan ruas kanan ?,
   • jika tandanya < maka titik tersebut berada di dalam lingkaran,
   • jika tadanya = maka titik tersebut berada pada lingkaran,
   • jika tandanya > maka titik tersebut berada di luar lingkaran.

Posisi Garis Terhadap Lingkaran
Posisi garis y = mx + c terhadap lingkaran dapat diketahui dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.
2. Bentuk jadi persamaan kuadrat dan cari diskriminannya, D=b²-4ac
3. Posisi garis terhadap lingkaran bisa ditentukan dari diskriminnya sebagai berikut.
   • Jika D>0 maka garis memotong lingkaran di dua titik.
   • Jika D=0 maka garis menyinggung lingkaran di satu titik.
   • Jika D<0 maka garis tidak memotong atau pun menyinggung lingkaran.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Diketahui titik singgung (x₁,y₁)

Diketahui gradien garis singgung m