Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Agar paham mengenai pernyataan majemuk yang ekuivalen, sebelumnya mari kita pahami dulu apa itu tautologi, kontradiksi, dan kontingensi. Tautologi, kontradiksi, dan kontingensi erat hubungannya dengan pernyataan majemuk dan nilai kebenarannya. Sebuah pernyataan majemuk disebut tautologi jika pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang semuanya benar. Sedangkan kontradiksi adalah sebutan bagi pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya semuanya salah. Jika pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran campuran benar dan salah, maka pernyataan majemuk tersebut disebut sebagai kontingensi. Contoh dari tautologi adalah pernyataan majemuk p ∨ ~p. Contoh dari kontradiksi adalah pernyataan majemuk p ∧ ~p. Sedangkan contoh kontingensi adalah pernyataan majemuk p ∨ q, p ∧ q, p ⇒ q, p ⇔ q.

Setelah dijelaskan mengenai tautologi, kontradiksi, dan kontingensi, mari kita lanjutkan ke pembahasan mengenai pernyataan majemuk yang ekuivalen. Agar lebih paham apa itu pernyataan majemuk yang ekuivalen, terlebih dahulu coba perhatikan tabel nilai kebenaran dari p ∨ q dan tabel nilai kebenaran dari q ∨ p berikut ini.

Bagaimana nilai kebenaran dari kedua pernyataan majemuk tersebut? Sama, kan? Nah kalo kedua pernyataan tersebut dihubungkan dengan operasi biimplikasi,
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
apa yang akan terjadi? Karena nilai kebenaran dari p∨q sama dengan q∨p, Nilai kebenaran
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
pastilah semuanya benar (tautologi) karena kedua pernyataan yang dihubungkan dengan operasi biimplikasi masing-masing memiliki nilai kebenaran yang sama. Dari sinilah konsep ekuivalensi dimulai.

Jika pernyataan majemuk
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
merupakan tautologi maka kita bisa menyebut
p ∨ q ekuivalen dengan q ∨ p.
Ekuivalen ditulis menggunakan notasi "≡". Dalam bentuk notasi,
p ∨ q ekuivalen dengan q ∨ p
dapat ditulis sebagai
(p ∨ q) ≡ (q ∨ p).
Jadi, syarat dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen adalah jika kedua pernyataan majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Berikut ini adalah contoh beberapa pernyataan majemuk yang ekuivalen.

• p ∨ q ≡ q ∨ p (Komutatif)
• p ∧ q ≡ q ∧ p (Komutatif)
• p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (Asosiatif)
• p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (Asosiatif)
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Distributif)
• p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (Distributif)
• ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q (De Morgan)
• ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q (De Morgan)
• p ⇒ q ≡ ~p ∨ q (Implikasi)
• p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) (Biimplikasi)
• ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q (Negasi Implikasi)
• ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) (Negasi biimplikasi)

Pembuktiannya bisa diperoleh dengan membuat tabel nilai kebenaran dan perlihatkan bahwa kedua pernyataan majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Silakan sebagai latihan. :)