Penjumlahan dan Perkalian Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Kali ini yang akan dibahas adalah mengenai penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat yang bisa diperoleh langsung dari bentuk umum persamaan kuadrat tanpa mencari akarnya terlebih dahulu.

Hasil penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat sebenarnya bisa kita peroleh dengan cara mencari akarnya terlebih dahulu, kemudian jumlahkan dan kalikan hasil yang diperoleh. Namun, hal tersebut akan sulit dilakukan apabila persamaan kuadratnya sulit untuk dicari akarnya. Berikut ini rumus dari penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat apabila diketahui bentuk umum persamaan kuadratnya.

Jika persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka berlaku:
x₁+x₂=-b/a
x₁.x₂=c/a

Rumus tersebut diperoleh dari rumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat. Berikut ini penjelasan bagaimana mendapatkan rumus tersebut.

Akar persamaan kuadrat
ax²+bx+c=0 adalah

atau

Penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus di atas adalah sebagai berikut.

Sedangkan Perkalian akar-akarnya

Pada soal kadang-kadang tidak langsung ditanyakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tapi bentuk lainnya. Misalnya jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat atau penjumlahan dari kebalikan akar-akarnya. Cara untuk menyelesaikannya adalah dengan membuat bentuk yang ditanyakan ke dalam bentuk penjumlahan dan hasil kali akar-akarnya.

Misalnya jika ditanyakan jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
x₁² + x₂²

Bentuk tersebut bisa diubah dengan cara sebagai berikut.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Bentuk tersebut diperoleh dengan cara menguraikan bentuk (x₁ + x₂)².
(x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²
sehingga diperoleh x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Bentuk-bentuk lainnya adalah sebagai berikut.

Contoh soal dan pembahasannya
Diketahui persamaan kuadrat x² - 2x + 3 = 0 yang mempunyai akar-akar x₁ dan x₂, tentukan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari akar-akar persamaan kuadratnya terlebih dahulu. Cukup kita ketahui dari persamaan kuadrat tersebut a = 1, b = -2, dan c = 3. Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang dijelaskan di atas.

Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - 8x + k = 0. Jika p = 3q, tentukan nilai k.

Untuk menyelesaikan soal ini, cukup menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Kita mulai dari yang diketahui.
p = 3q

tambahkan ruas kiri dan ruas kanan dengan q, sehingga diperoleh
p + q = 3q + q

Gunakan rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat untuk mengubah p + q di ruas kiri.
8 = 4q
Diperoleh q = 8/4 = 2

Karena q adalah salah satu akar persamaan kuadrat, jika disubstitusi ke persamaan kuadrat yang diketahui di soal, akan menghasilkan nol.
2² - 8(2) + k = 0
-12 + k = 0
k = 12