Menentukan Akar Polinom Berderajat Lebih dari Dua

Akar dari sebuah persamaan adalah bilangan yang memenuhi persamaan tersebut. Akar dari sebuah persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Secara lebih sederhana lagi, akar dari persamaan f(x)=0 adalah nilai x yang jika disubstitusikan ke f(x) nilainya sama dengan nol.

Dalam menentukan akar sebuah persamaan polinom berderajat kecil relatif lebih mudah dilakukan dibanding dengan menentukan akar persamaan polinom berderajat besar. Penyelesaian polinom berderajat 1 (persamaan linear) sangat mudah dilakukan dibanding dengan penyelesaian polinom berderajat 2 (persamaan kuadrat). Namun keduanya dapat diselesaikan dalam beberapa tahap saja.

Secara umum, penyelesaian persamaan polinom dilakukan dengan memfaktorkan polinomnya terlebih dahulu ke bentuk linear dengan memanfaatkan teorema sebagai berikut.

Jika ab=0 maka a=0 atau b=0

Teorema tersebut jika diperluas untuk fungsi bunyinya menjadi seperti berikut.

Jika f(x)g(x)=0 maka f(x)=0 atau g(x)=0

Faktorisasi polinom berderajat dua masih mudah dilakukan dibanding polinom berderajat tiga. Namun, tetap bisa dilakukan jika kita memahami konsep dasarnya. Berikut konsep yang berkaitan dengan akar dan faktor sebuah persamaan polinom.

Diketahui sebuah persamaan polinom f(x)=0 dengan f(a)=0
Kalimat di atas bisa diterjemahkan ke dalam beberapa poin yang saling ekuivalen berikut.

  • a adalah akar dari f(x)=0
  • (x-a) adalah faktor dari f(x)
  • f(x) habis dibagi oleh (x-a)
  • Sisa pembagian f(x) oleh (x-a) adalah 0

Melalui konsep ini kita bisa menguraikan persamaan polinom f(x)=0 menjadi beberapa faktor sehingga berikutnya bisa ditentukan akar persamaan polinom f(x)=0.

Akar-akar polinom berkaitan erat dengan koefisien polinom. Bahkan, tanpa menentukan terlebih dahulu akar-akarnya, kita bisa menyetahui operasi akar-akar hanya melalui koefisien polinom.

Hubungan Akar-Akar Polinom dengan Koefisien Polinom

Oleh karena akar-akar polinom berkaitan erat dengan koefisiennya, kita bisa menguraikan faktor polinom berdasarkan koefisiennya. Berikut beberapa pernyataan yang dapat membantu memfaktorkan polinom berderajat lebih dari dua.

  • Jika jumlah koefisien polinom sama dengan 0 maka salah satu akarnya adalah 1.
  • Jika jumlah koefisien peubah pangkat ganjil sama dengan jumlah koefisien peubah pangkat genap maka salah satu akarnya adalah -1.
  • Akar bilangan bulat polinom pasti merupakan faktor bilangan konstantanya.

Berikut contoh penyelesaian polinom berderajat 4 menggunakan konsep di atas.

Tentukan akar-akar dari 4x4-8x3-7x2+11x+6=0

Kita jumlahkan koefisiennya.
4-8-7+11+6=6≠0
Berarti salah satu akarnya bukan 1.

Bagaimana dengan jumlah koefisien peubah pangkat genap dan koefisien peubah pangkat ganjilnya.
Jumlah koef. peubah pangkat genap
4-7+6=3
Apakah sama dengan jumlah koef. peubah pangkat ganjil?
-8+11=3
Ternyata sama, berarti salah satu akarnya adalah -1. Kita lakukan pembagian horner untuk melanjutkan proses faktorisasi.

-1 4 -8 -7 11 6
-4 12 -5 -6
4 -12 5 6 0

Berdasarkan pembagian polinom dengan cara horner, diperoleh hasil pembagian sebagai berikut.
4x3-12x2+5x+6

Langkah selanjutnya adalah kita kembali memfaktorkan polinom hasil pembagian di atas. Kembali coba apakah salah satu akarnya 1(sudah tidak mungkin) atau -1. Secara sekilas, kita bisa mengetahui bahwa salah satu akar dari polinom hasil pembagiannya bukan -1. Berarti kita harus mencoba faktor bilangan dari konstantanya, yaitu faktor bilangan dari 6 selain 1 dan -1. Kita bisa mencoba ±2, ±3, atau ±6. Misal, kita coba dengan 2.

2 4 -12 5 6
8 -8 -6
4 -4 -3 0

Ternyata sisa pembagiannya 0. Artinya, 2 merupakan salah satu akarnya. Hasil pembagian polinom terakhir ini merupakan persamaan kuadrat. Untuk menentukan faktor berikutnya, tidak diperlukan lagi pembagian polinom (dengan horner), kita bisa langsung faktorkan persamaan kuadratnya.

4x2-4x-3=(2x-3)(2x+1)

Kita memperoleh faktornya secara lengkap sebagai berikut.

4x4-8x3-7x2+11x+6=0
(x+1)(x-2)(2x-3)(2x+1)=0

Berarti akar-akar persamaan polinom tersebut adalah
x=-1, x=-2, x=3/2, atau x=-1/2

Sekian pembahasan mengenai cara menentukan akar persamaan polinom berderajat lebih dari dua. Semoga dapat membantu Kamu memahami materi ini dan materi terkait lainnya.

Oleh Opan
Dibuat
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Protected by Copyscape