Koordinat Kartesius dan Polar

Selama ini kita mengenal sistem koordinat kartesius sebagai sistem untuk menentukan letak suatu titik relatif terhadap dua sumbu koordinat, yaitu terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y. Koordinat kartesius dituliskan sebagai (x,y), x disebut absis, yaitu posisi titik relatif terhadap sumbu X, sedangkan y disebut ordinat, yaitu posisi titik relatif terhadap sumbu Y. Sistem koordinat kartesius ini mulai diperkenalkan pada pelajaran matematika sejak SD. Selanjutnya digunakan dalam penyelesaian berbagai masalah aljabar serta geometri pada pembelajaran matematika selanjutnya.

Selain koordinat kartesius, terdapat pula jenis koordinat lain, salah satu contohnya adalah koordinat polar atau disebut juga koordinaat kutub. Koordinat polar menunjukkan letak suatu titik berdasarkan sudut terhadap sumbu X positif dan jarak dari titik pusat. Koordinat polar berhubungan juga dengan koordinat kartesius. Oleh karena itu, jika diketahui sebuah koordinat kartesius, kita bisa mengkonversinya ke koordinat polar, begitu juga sebaliknya.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar tersebut posisi titik P dituliskan dalam dua koordinat, yaitu koordinat kartesius (x,y) dan koordinat polar (r,α). Koordinat kartesius (x,y) menunjukkan posisi titik tersebut relatif terhadap sumbu X dan sumbu Y, sedangkan koordinat polar terdiri atas r yang menunjukkan jarak titik tersebut terhadap titik pusat O dan sudut α menunjukkan sudut yang dibentuk oleh ruas garis OP terhadap sumbu X positif. Lalu, bagaimana hubungan keduanya dan bagaimana mengubah koordinat kartesius ke polar atau sebaliknya? Simak pembahasan berikut ini.

Mengubah koordinat kartesius menjadi koordinat polar
Perhatikan kembali gambar di atas, khususnya segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya x, y, dan r. Menurut teorema pythagoras, panjang ruas garis r dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut.

Masih pada segitiga siku-siku yang sama, berlaku perbandingan trigonometri berikut.

Kesimpulan

Jika diketahui koordinat kartesius (x,y), koordinat polar (r,α) dapat diperoleh dengan dengan aturan sebagai berikut. (r,α)=

Mengubah koordinat polar menjadi koordinat kartesius
Perhatikan kembali segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya x, y, dan r di atas. Pada segitiga siku-siku tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut.

Kesimpulan

Jika diketahui koordinat polar (r,α), koordinat kartesius (x,y) dapat diperoleh dengan aturan sebagai berikut. (x,y)=(rcosα,rsinα)

Contoh soal dan pembahasannya
Ubah koordinat kartesius (1,) menjadi koordinat polar. Dari aturan di atas, kita peroleh koordinat polarnya.

Ubah koordinat polar (2,45°) menjadi koordinat kartesius.
Dari aturan di atas, kita peroleh koordinat kartesiusnya.