Invers Matriks

Invers adalah kebalikan. Istilah invers ini biasa dipakai dalam aljabar. Invers dari 2 adalah 1/2 karena 2(1/2)=1 dan bilangan 1 ini merupakan identitas. Mudah saja mencari invers suatu anggota himpunan bilangan rasional tanpa nol terhadap perkalian, invers dari bilangan rasional a adalah 1/a. Dalam matriks juga sama, seperti yang sudah dijelaskan pada definisi di atas, jika AB=I dimana I adalah matriks identitas maka B merupakan invers matriks A dan sebaliknya. Tapi untuk mencari invers sebuah matriks tidak seperti mencari invers bilangan rasional. Karena tidak ada operasi pembagian pada matriks. Lalu bagaimana caranya mendatkan invers dari suatu matriks? Matriks jenis apa saja yang memiliki invers? Apa saja aplikasi invers matriks? Mari kita bahas.

Definisi Invers Matriks:
Misalnya matriks A dan B masing-masing adalah matriks persegi, sehingga AB=BA=I, maka matriks B adalah invers matriks A dan ditulis B = A-1 dan matriks A adalah invers matriks B dan ditulis A = B-1. Matriks A dan B adalah matriks yang saling invers.

Tidak semua matriks memiliki invers, hanya matriks persegi dengan determinan tidak sama dengan nol yang memiliki invers. Secara umum, invers dari matriks persegi A atau ditulis A-1 adalah sebagai berikut.

Dengan det (A) adalah determinan matriks A dan adj(A) adalah adjoin matriks A. Adjoin matriks A adalah transpose dari matriks kofaktor A. Untuk matriks A yang berordo 2 x 2 inversnya adalah sebagai berikut.

Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks dan sistem persamaan linear. Perlu diingat bahwa pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Hal ini berpengaruh pada penyelesaian persamaan matriks. Perhatikan persamaan matriks berikut.

AX = B
Untuk mencari matriks X caranya adalah sebagai berikut.
X = A-1B

Sedangkan untuk persamaan dengan bentuk berikut.
XA = B
Untuk mencari matriks X adalah dengan cara sebagai berikut.
X = BA-1

Perhatikan bahwa walaupun ruas kiri sama-sama perkalian matriks A dengan matriks X tapi penyelesaian keduanya berbeda. Untuk persamaan pertama invers dari matriks A dikalikan dari kiri sedangkan pada persamaan kedua dikalikan dari kanan. Ini tergantung dari letak matriks A pada ruas kiri.

Pada persamaan pertama, matriks A terletak di sebelah kiri matriks X. Oleh karenanya, invers dari matriks A dikalikan dari sebelah kiri juga di ruas kanannya. Begitu pun dengan penyelesaian persamaan matriks kedua.

Contoh Soal dan pembahasan
Tentukan matriks X yang berordo 2x2 yang memenuhi

Jawaban:


Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan invers matriks.

Jawaban:
Ubah bentuk sistem persamaan di atas menjadi bentuk matriks

Lanjutkan dengan langkah menentukan matriks peubah menggunakan invers matriks.

Diperoleh nilai x=5 dan y=2.

Oleh Opan
Dibuat 15/01/2013
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Protected by Copyscape