Hubungan Akar-Akar Polinom dengan Koefisien Polinom

Pada pokok bahasan persamaan kuadrat terdapat konesp mengenai jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat merupakan polinom berderajat 2. Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat merupakan contoh hubungan antara akar-akar polinom dengan koefisiennya.

Berikut ini akan dibahas mengenai hubungan akar-akar sebuah polinom dengan koefisien polinom secara umum, termasuk di dalamnya bagaimana menentukan penjumlahan atau perkalian akar-akar polinom.

Persamaan kuadrat (polinom berderajat 2)
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, dengan a tidak sama dengan 0 maka:

Persamaan kubik (polinom berderajat 3)
Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar persamaan kubik ax3+bx2+cx+d=0, dengan a tidak sama dengan 0 maka:

Persamaan polinom berderajat empat
Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax4+bx3+cx2+dx+e=0, dengan a tidak sama dengan 0 maka:

Untuk memudahkan menghapal rumusnya, perhatikan polanya. Jumlah satu akar-akarnya adalah -b/a, jumlah dari perkalian dua akarnya adalah c/a, jumlah dari perkalian tiga akarnya adalah -d/a, dan jumlah dari perkalian empat akarnya adalah e/a. Penyebutnya tetap a, tapi pembilangnya berurutan mulai dari b, c, d, dan e serta tandanya selang-seling dimulai dari negatif-positif-negatif-positif. Aturan tersebut berlaku umum untuk polinom berderajat berikutnya.

Contoh soal:
Diberikan persamaan x3-3x2-10x+p=0 dengan akar-akar x1, x2, dan x3. Jika 2x1=-x2-x3. Tentukan nilai p.

Jawaban:
Dari yang diketahui
2x1=-x2-x3 ⇔ x2+x3=-2x1

Gunakan rumus penjumlahan akar-akar

Karena x1=-3 adalah akar dari polinom x3-3x2-10x+p=0 maka:
(-3)3-3(-3)2-10(-3)+p=0
⇔ -27-27+30+p=0
⇔ -24+p=0
p=24


Jika persamaan 2x3+px2-18x+8=0 memiliki dua akar yang saling berkebalikan, tentukan nilai p.

Jawaban:
Misalkan akar-akar polinom 2x3+px2-18x+8=0 adalah x1, x2, dan x3.

Diketahui bahwa polinom tersebut mempunyai dua akar berkebalikan.\ Kita misalkan x1 dan x2 yang berkebalikan, sehingga

Gunakan rumus perkalian akar-akar

Karena x3=-4 akar dari 2x3+px2-18x+8=0 maka
2(-4)3+p(-4)2-18(-4)+8=0
⇔ -128+16p+72+8=0
⇔ 16p=48
p=3

Oleh Opan
Dibuat 17/03/2012
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Protected by Copyscape