Determinan Matriks

Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Determinan matriks digunakan ketika mencari invers matriks dan ketika menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan aturan cramer. Bagaimanakah mencari determinan matriks berordo 2x2 dan matriks berordo 3x3? Mari kita simak pembahasannya berikut ini.

Notasi Determinan
Determinan dari matriks A dapat ditulis sebagai det(A) atau |A|. Jika diketahui komponen matriksnya, bisa juga ditulis dalam bentuk susunan persegi panjang komponen matriks tersebut tetapi tidak diapit oleh tanda kurung atau kurung siku, melainkan diapit oleh tanda |...|.

Perhatikan contoh penulisan notasi dari matriks A berikut ini.

Determinan dari matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut.

Determinan Matriks Berordo 2x2
Determinan dari matriks berordo 2x2 adalah sebagai berikut.

Determinan Matriks Berordo 3x3
Untuk menentukan determinan matriks berordo 3x3 terdapat dua cara, yaitu dengan metode sarrus dan cara penjumlahan dari perkalian komponen matriks 3x3 dengan kofaktornya. Untuk metode sarrus, silakan pelajari sendiri dari sumber lain. Pada pembahasan ini akan dijelaskan cara menentukan determinan matriks berordo 3x3 dengan menggunakan penjumlahan dari perkalian komponen matriks dengan kofaktornya.

Pengertian Minor dan Kofaktor
Jika A adalah matriks persegi, maka minor dari komponen a_ij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks A dengan komponen selain baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Bilangan (-1)^i+jM_ij dinyatakan oleh C_ij dinamakan kofaktor dari komponen a_ij

Dari pengertian kofaktor di atas, dapat dinyatakan bahwa determinan dari matriks A yang berordo 3x3 berikut ini

adalah sebagai berikut.
|A|=aC₁₁+bC₁₂+cC₁₃

|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)

Sifat-Sifat Determinan Matriks
Untuk menyelesaikan masalah determinan tidak selalu harus diselesaikan dengan menggunakan rumus determinan di atas. Ada beberapa sifat yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan determinan agar penyelesaian permasalahan determinan matriks menjadi lebih mudah. Berikut ini adalah sifat-sifat dari determinan matriks.

• |AB|=|A||B|
• |A^T|=|A|
• |A^-1|=1/|A|

PS: Matriks yang memiliki determin sama dengan nol dinamakan matriks singular. Matriks singular tidak memiliki invers.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Menggunakan Determinan
Metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan determinan dinamakan metode cramer. Berikut ini adalah penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode cramer.
Secara umum, sistem persamaan linear bisa dituliskan dalam bentuk berikut ini.

Biasanya kita menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan eliminasi, substitusi, atau keduanya. Dengan menggunakan metode cramer, terlebih dahulu ubah sistem persamaan linear di atas menjadi matriks berikut.

Matriks yang komponennya a,b,c, dan d merupakan matriks koefisien, matriks yang komponennya x dan y merupakan matrik peubah, dan matriks yang komponennya p dan q merupakan matriks konstanta. Sebelum kita bahas metode cramer, kita pahami dulu istilah berikut ini.

• D adalah determinan matriks koefisien.
  
• Dx adalah determinan matriks koefisien yang komponen kolom pertamanya diganti dengan komponen matriks konstanta.
  
• Dy adalah determinan matriks koefisien yang komponen kolom keduanya diganti dengan komponen matriks konstanta.
  

Penyelesaiannya diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Contoh soal dan pembahasannya
Diketahui

Tentukan determinan dari (AB)^-1

---

Matriks

tidak memiliki invers. Tentukan x.

Matriks A tidak memiliki invers. Berarti matriks A merupakan matriks singular. Artinya, determinan matriks A sama dengan nol.

---

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan metode cramer.

Ubah bentuk sistem persamaan di atas menjadi bentuk matriks

Selesaikan dengan metode cramer sesuai dengan matriks di atas.

x=5 dan y=2