Aturan Sinus

Aturan sinus merupakan perluasan dari konsep trigonometri yang sebelumnya hanya terbatas pada segitiga siku-siku. Melalui aturan sinus, fungsi trigonometri sinus dapat digunakan dalam segitiga sembarang.

Aturan Sinus
Dalam setiap segitiga ABC sembarang, perbandingan panjang sisi dan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut mempunyai nilai yang sama.

Simak pembuktian rumusnya berikut ini.

Perhatikan ΔABC lancip pada gambar di bawah ini. Garis-garis AP, BQ, dan CR masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi a, sisi b, dan sisi c.

Perhatikan ΔACR dan ΔBCR dari ΔABC lancip di atas.

Pada ΔACR berlaku:

⇔ CR = b sin A ... (1)

Pada ΔBCR berlaku:

⇔ CR = a sin B ... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa panjang CR adalah sebagai berikut.
CR = b sin A = a sin B

Perhatikan ΔBAP dan ΔCAP dari ΔABC di atas.

Pada ΔBAP berlaku:

⇔ AP = c sin B ... (4)

Pada ΔCAP berlaku:

⇔ AP = b sin C ... (5)

Dari (3) dan (4) diperoleh bahwa panjang AP adalah sebagai berikut.
AP = c sin B = b sin C

Dari (3) dan (6) dapat diperoleh sebuah rumus sebagai berikut.

Rumus ini disebut sebagai aturan sinus.

Aturan sinus berlaku untuk segitiga sembarang dan digunakan untuk menyelesaikan soal yang melibatkan dua sudut (diketahui atau pun ditanyakan). Sebagai pelengkap pembuktian, berikut disampaikan juga bagaimana penurunan rumus aturan sinus yang diperoleh dari segitiga tumpul. Garis AP adalah garis tinggi pada sisi a, garis BQ dan CR masing-masing adalah garis tinggi pada (perpanjangan) sisi b dan c.

Perhatikan ΔACR dan ΔBCR dari ΔABC tumpul di atas.

Pada ΔACR berlaku:

⇔ CR = b sin (180°-A)
⇔ CR = b sin A ... (1)

Pada ΔBCR berlaku:

⇔ CR = a sin B ... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa panjang CR adalah sebagai berikut.
CR = b sin A = a sin B

Perhatikan ΔBAP dan ΔCAP dari ΔABC di atas.

Pada ΔBAP berlaku:

⇔ AP = c sin B ... (4)

Pada ΔCAP berlaku:

⇔ AP = b sin C ... (5)

Dari (3) dan (4) diperoleh bahwa panjang AP adalah sebagai berikut.
AP = c sin B = b sin C

Dari (3) dan (6) diperoleh rumus sebagai berikut.

Hasilnya sama dengan rumus yang diperoleh dari segitiga lancip sebelumnya.

Soal:
Pada segitiga ABC diketahui a+b = 10, sudut A = 30 dan sudut B = 60. panjang sisi b berapa?

Jawaban:
Gunakan aturan sinus.