Menyusun Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat bisa disusun dengan beberapa cara tergantung dari yang diketahui. Masalah yang muncul pada penyusunan fungsi kuadrat ini adalah jika diketahui fungsi kuadrat tersebut melalui tiga titik, jika diketahui titik potongnya terhadap sumbu X dan melalui satu titik lainnya, dan jika diketahui titik ekstrim dan satu titik lainnya. Mari kita bahas satu persatu bagaimana menyusun fungsi kuadrat berdasarkan yang diketahui.

Diketahui melalui tiga titik (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃)
Untuk menyusun persamaan kuadrat yang melalui tiga titik ini dilakukan dengan cara substitusi titik-titik yang dilalui ke bentuk umum fungsi kuadrat.

Substitusi titik (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃)
ke bentuk umum fungsi kuadrat y=ax²+bx+c
sehingga akan diperoleh sistem persamaan linear tiga peubah sebagai berikut.

y₁=ax₁²+bx₁+c
y₂=ax₂²+bx₂+c
y₃=ax₃²+bx₃+c

Selanjutnya, tentukan nilai a, b, dan c dengan menggunakan penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah. Bisa dengan cara eliminasi, substitusi, atau campuran (eliminasi-substitusi). Setelah itu, substitusi nilai a, b, dan c yang diperoleh ke bentuk fungsi kuadrat.

Diketahui titik potong dengan sumbu X dan satu titik lainnya
Permasalahan untuk kasus ini biasanya disebutkan secara langsung atau melalui kurva fungsi kuadrat. Cara menyusun fungsi kuadrat yang diketahui titik potongnya dengan sumbu X adalah dengan menggunakan rumus berikut ini.

y=a(x-x₁)(x-x₂)

dengan (x₁,0) dan (x₂,0) merupakan titik potong kurva fungsi kuadrat terhadap sumbu X.

Nilai a bisa diperoleh dengan substitusi titik lainnya yang diketahui melalui kurva fungsi kuadrat.

Contoh
Tentukan fungsi kuadrat yang kurvanya melalui titik (-1,0), (3,0), dan (4,30).

Dari soal tersebut dapat diketahui bahwa kurva fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik potong dengan sumbu X (-1,0) dan (3,0). Berarti nilai x₁ dan x₂ masing-masing adalah -1 dan 3. Nilai x₁ dan x₂ ini jadikan substitusi untuk rumus berikut.

y=a(x-x₁)(x-x₂)
y=a(x+1)(x-3)

Lalu cari nilai a dengan substitusi peubah x dan y oleh titik yang dilalui kurva fungsi kuadrat tersebut. Pada contoh soal di atas, titik lain yang dilaluinya adalah (4,30). Artinya jika x=4 maka y=30.

30=a(4+1)(4-3)
30=5a
a=6

Fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut.
y=6(x+1)(x-3)
y=6(x²-2x-3)=6x²-12x-18

Diketahui titik ekstrim dan satu titik lainnya
Titik ekstrim sebuah fungsi kuadrat sering muncul dalam istilah lain yaitu titik puncak, dan titik balik maksimum (jika kurvanya terbuka ke bawah) atau titik balik minimum (jika kurvanya terbuka ke atas). Jika sebuah fungsi kuadrat diketahui titik ekstrimnya misalnya (x_e,y_e), fungsi kuadratnya dapat disusun dengan menggunakan rumus berikut ini.

y=a(x-x_e)²+y_e

Nilai a bisa diperoleh dengan substitusi titik lainnya yang diketahui melalui fungsi kuadrat.

Contoh
Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 untuk x=2, sedangkan bernilai -11 untuk x=-2, tentukan fungsi kuadrat tersebut.

Dari soal tersebut diketahui titik ekstrim fungsi kuadratnya adalah (2,-3) dan melalui titik (-2,-11). Dengan menggunakan rumus di atas, kita bisa memperoleh fungsi kuadratnya.

y=a(x-2)²-3

Nilai a bisa diperoleh dengan cara substitusi titik (-2,-11) ke fungsi di atas.

-11=a(-2-2)²-3
-11=16a-3
16a=-8
a=-1/2

Fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut.
y=-1/2(x-2)²-3
y=-1/2(x²-4x+4)-3
y=-1/2x²+2x-2-3
y=-1/2x²+2x-5

Contoh soal dan pembahasannya
Soal:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,7), (4,4), dan titik ekstrim (3,3).

Jawaban:
Fungsi kuadrat dengan titik ekstrim (p,q) adalah
y-q=a(x-p)²

Diketahui titik ekstrimnya (3,3)
y-3=a(x-3)²

Untuk mendapatkan a, substitusi titik yang dilalui, yaitu (1,7) atau (4,4)
4-3=a(4-3)²
a=1

Fungsi kuadratnya adalah
y-3=(x-3)²
y-3=x²-6x+9
y=x²-6x+6

Sekian pembahasan tentang menyusun fungsi kuadrat. Semoga bermanfaat. :-D